Задание 10 базового ЕГЭ: Подобие треугольников

Тема подобия треугольников является одной из ключевых в геометрической части базового ЕГЭ по математике. В задании 10 эта тема встречается достаточно часто, поэтому учителям математики важно качественно подготовить учащихся к решению таких задач.

Основные понятия и признаки подобия

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Для обозначения подобия используется символ \( \sim \). Если \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \), то выполняются следующие условия:

• \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \), \( \angle C = \angle C_1 \)
• \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \), где \( k \) - коэффициент подобия

Три признака подобия треугольников

1. Первый признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
3. Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на подобие треугольников в задании 10 ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S}{S_1} = k^2 \)
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \( \frac{P}{P_1} = k \)
• Отношение соответствующих линейных элементов (высот, медиан, биссектрис) равно коэффициенту подобия
• Теорема Фалеса: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки
• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине
• Свойство биссектрисы: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

Практическое применение в заданиях ЕГЭ

В заданиях базового ЕГЭ по математике задачи на подобие треугольников часто представлены в виде практических ситуаций: определение высоты предметов по длине тени, расчет расстояний на местности, задачи с колодцем "журавлем" и другие прикладные сценарии.

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 10 рекомендуем использовать Конструктор индивидуальных заданий - специализированный сервис для учителей математики, позволяющий генерировать уникальные варианты задач по теме подобия треугольников для каждого ученика.

Разбор конкретных задач

Задача 1

Человек, рост которого равен 1.5 м, стоит на расстоянии 10 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 3 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

Решение:

Обозначим:

• AB - высота фонаря
• CD - рост человека (1.5 м)
• BD - расстояние от фонаря до человека (10 м)
• DE - длина тени (3 м)

Треугольники ABE и CDE подобны по первому признаку подобия (у них общий угол E и прямые углы при вершинах B и D).

Составим пропорцию: \( \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} \)

BE = BD + DE = 10 + 3 = 13 м

\( \frac{AB}{1.5} = \frac{13}{3} \)

\( AB = \frac{13 \times 1.5}{3} = \frac{19.5}{3} = 6.5 \) м

Ответ: высота фонаря составляет 6.5 метра.

Задача 2

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1.3 м?

Решение:

Рассмотрим подобные треугольники, образованные рычагом "журавля". При движении рычага образуются два подобных прямоугольных треугольника.

Коэффициент подобия равен отношению длин плеч: \( k = \frac{6}{3} = 2 \)

Если конец короткого плеча поднялся на 1.3 м, то конец длинного плеча опустится на расстояние, в 2 раза большее (из-за подобия треугольников):

\( 1.3 \times 2 = 2.6 \) м

Ответ: конец длинного плеча опустится на 2.6 метра.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 10 ЕГЭ по теме подобия треугольников важно:

• Отработать все три признака подобия на практических примерах
• Научить учащихся правильно составлять пропорции на основе подобия
• Рассмотреть различные контексты, в которых могут встречаться задачи на подобие
• Использовать задачи из открытого банка заданий ФИПИ для формирования самостоятельных работ

Предлагаемые на этой странице задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Это позволяет эффективно подготовить учащихся к формату экзаменационных задач.

Используя Конструктор индивидуальных заданий, вы можете создавать уникальные варианты для каждого ученика, что особенно ценно при дифференцированном подходе к обучению и при подготовке к итоговой аттестации.