Конструктор индивидуальных заданий, самостоятельных и контрольных работ по математике

Важно! Для оповещения о новостях Конструктора и для скачивания методических материалов создан чат ВК: присоединиться

✍

Тема 1 (Геометрия, 7 класс). Точка, прямая, луч, отрезок, угол (16 типов заданий)

1.1

Начертите прямую a и отметьте на ней точки K, F, A и D так, чтобы точка A лежала между точками K и F, а точка D - между точками F и A.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.2

Начертите прямую c и отметьте на ней точки S, E и P так, чтобы выполнялось равенство SP = SE + EP.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.3

Отрезок DK разделён точкой T на два отрезка. Найдите расстояние между точками D и K, если DT = 2.4 дм, TK = 43 см. Ответ дайте в сантиметрах.
[Ответ: 67]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.4

Точка D - середина отрезка RT, точка F - середина отрезка DT, FT = 1.5 см. Найдите длины отрезков RD, RF и RT.
[Ответ: 3 см; 4.5 см; 6 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.5

На отрезке FS длиной 76 см взята точка X. Найдите длины отрезков FX и SX, если длина отрезка FX на 10 см больше длины отрезка SX.
[Ответ: 43 см и 33 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.6

На отрезке CH длиной 182 см взята точка N. Найдите длины отрезков CN и HN, если длина отрезка CN в 6 раз меньше длины отрезка HN.
[Ответ: 26 см и 156 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.7

На отрезке SK длиной 72 см взята точка B. Найдите длины отрезков SB и KB, если SB:KB = 5:4.
[Ответ: 40 см и 32 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.8

На прямой h взяты точки H, B, X так, что HB = 27 см, HX = 52 см. Чему может быть равна длина отрезка BX?
[Ответ: 79 см или 25 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.9

На отрезке FC взята точка R так, что FR = 33 см, RC = 69 см. Найдите расстояние между серединами отрезков FR и RC.
[Ответ: 51]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Луч и угол

1.10

Луч KE делит угол AKN на два угла. Найдите угол AKN, если ∠ A K E = 56^{\circ}, ∠ N K E = 43^{\circ}.
[Ответ: 99^{\circ}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.11

Внутри угла BPR, равного 34^{\circ}, проведены два луча PC и PS так, что ∠ B P S = 32^{\circ}, ∠ C P R = 33^{\circ}. Найдите угол CPS.
[Ответ: 31^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.12

Внутри угла PMD, равного 129^{\circ}, проведен луч MC так, что угол PMC на 85^{\circ} больше угла DMC. Найдите углы PMC и DMC.
[Ответ: 107^o и 22^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.13

Из вершины C развернутого угла RCP проведены лучи CS и CZ так, что CZ - биссектриса угла SCP, и ∠ R C Z = 162^{\circ}. Найдите ∠ P C S .
[Ответ: 36^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.14

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов, если сейчас 01:00?
[Ответ: 30^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.15

Угол BFT равен 80^{\circ}, угол TFH равен 82^{\circ}. Чему может быть равен угол BFH?
[Ответ: 162^o или 2^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.16

Из вершины угла CHX величиной 150^{\circ} проведен луч HO. Найдите угол между биссектрисами углов CHO и OHX.
[Ответ: 75^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 2 (Геометрия, 7 класс). Смежные и вертикальные углы (11 типов заданий)

2.1

Могут ли два смежных угла быть равными:
а) 123^{\circ} и 57^{\circ}?
б) 7^{\circ} и 12^{\circ}?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.2

Найдите угол, смежный с углом 69^{\circ}.
[Ответ: 111^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.3

Найдите смежные углы, если один из них на 134^{\circ} меньше другого.
[Ответ: 23^o; 157^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.4

Найдите смежные углы, если один из них в 19 раз больше другого.
[Ответ: 9^o и 171^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.5

Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 5:4.
[Ответ: 100^o и 80^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.6

В результате пересечения двух прямых образовались углы, сумма двух из которых равна 128^{\circ}. Найдите все образовавшиеся углы.
[Ответ: 64^o, 116^o, 64^o, 116^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.7

В результате пересечения двух прямых образовались углы, сумма трех из которых равна 219^{\circ}. Найдите все образовавшиеся углы.
[Ответ: 141^o, 39^o, 141^o, 39^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.8

В результате пересечения двух прямых образовались углы, разность двух из которых равна 146^{\circ}. Найдите все образовавшиеся углы.
[Ответ: 163^o; 17^o; 163^o; 17^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.9

Углы ANS и SNZ смежные, ∠ A N S = 77^{\circ}, луч NR проходит внутри угла ANS, ∠ A N R = 16^{\circ}. Найдите угол между биссектрисами углов RNS и SNZ.
[Ответ: 82^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.10

Луч BC - биссектриса угла SBZ, смежного с углом ZBD. Найдите углы SBZ и ZBD, если угол ZBC на 159^{\circ} меньше угла ZBD.
[Ответ: 14^o; 166^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.11

а) Сопоставьте буквенные обозначения углов с их градусными мерами (для выполнения задания пользоваться транспортиром нет необходимости);
б) выпишите все пары смежных углов на рисунке.

Углы:
А) ∠NSP
Б) ∠RSP
В) ∠RSX
Г) ∠XSN
Д) ∠PSX
Е) ∠NSR

Градусные меры:
1) 90^o
2) 75^o
3) 15^o
4) 165^o
5) 180^o

В таблицу занесите номера градусных мер, соответствующие буквам

Буквы (углы):	А	Б	В	Г	Д	Е
Цифры от 1 до 5:

[Ответ: а) 351214; б) ∠RSX и ∠PSX, а также ∠RSN и ∠PSN]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 3 (Геометрия, 7 класс). Треугольники, их виды. Медиана, биссектриса, высота треугольника (8 типов заданий)

3.1

Нарисуйте произвольный треугольник XZP. Обозначьте буквами и запишите:
а) сторону, лежащую напротив угла Z;
б) угол между сторонами XP и ZP;
в) стороны, прилежащие к углу P;
г) углы, прилежащие к стороне XZ.
[Ответ: а) XP; б) ∠XPZ; в) XP, ZP, г) ∠XZP, ∠ZXP]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.2

Нарисуйте произвольный треугольник PSZ. Запишите все возможные буквенные обозначения этого треугольника.
[Ответ: PSZ, PZS, SPZ, SZP, ZPS, ZSP]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.3

Нарисуйте произвольный треугольник SAN. Запишите буквенные обозначения всех его сторон и углов (при этом каждый угол обозначайте тремя буквами).
[Ответ: стороны: SA, AN, SN, углы: ∠SAN, ∠ASN, ∠SNA]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.4

Одна из сторон треугольника на 25 см меньше другой и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 149 см.
[Ответ: 31 см; 56 см; 62 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.5

Стороны треугольника относятся как 12:14:7, а разность наибольшей и наименьшей из сторон равна 21 см. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: 36 см, 42 см, 21 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Различных видов условия: 3 (если Вы добавите в карточки до 3 этих заданий, у каждого ученика будет до 3 задач с немного отличающимся условием).

3.6

В треугольнике RBM проведена медиана BC. Периметр треугольника RBC равен 47 см, периметр треугольника CBM равен 46 см. Найдите периметр треугольника RBM, если BC = 17 см.
[Ответ: 59]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.7

Нарисуйте:

1) равнобедренный тупоугольный треугольник SBH с тупым углом B;
2) равнобедренный прямоугольный треугольник CDP с прямым углом P;
3) разносторонний остроугольный треугольник NEO так, чтобы сторона NO была наименьшей;
4) прямоугольный разносторонний треугольник AXZ с прямым углом Z.

Проведите и сделайте соответствующие отметки на рисунке:

а) в треугольнике NEO медиану к стороне NO;
б) в треугольнике SBH высоту из вершины B;
в) в треугольнике SBH высоту к стороне BH;
г) в треугольнике AXZ биссектрису из вершины X.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.8

В треугольнике BMD известно, что BD = 32, MZ — медиана, MZ = 158. Найдите BZ.
[Ответ: 16]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 4 (Геометрия, 7 класс). Первый, второй и третий признаки равенства треугольников (14 типов заданий)

Подготовительные задачи. Введение в тему

4.1

На рисунке ниже изображены равные треугольники AZX и EDR. Запишите все возможные обозначения равенства этих треугольников.

[Ответ: ΔAZX = ΔEDR; ΔAXZ = ΔERD; ΔZAX = ΔDER; ΔZXA = ΔDRE; ΔXAZ = ΔRED; ΔXZA = ΔRDE]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Простейшие задачи по готовым рисункам

4.2

На рисунке ниже изображены треугольники RDZ и KMX. Известно, что RD=KM, RZ=KX, и ∠DRZ = ∠MKX.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) докажите, что ΔRDZ = ΔKMX.

[Ответ: 1) RD=KM (по условию),
2)RZ=KX (по условию),
3) ∠DRZ = ∠MKX (по условию)
Значит, ΔRDZ = ΔKMX по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.3

На рисунке ниже изображены треугольники KAP и MRH. Известно, что AP=RH, ∠KAP = ∠MRH, ∠APK = ∠RHM.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) докажите, что ΔKAP = ΔMRH.

[Ответ: 1) AP=RH (по условию),
2) ∠KAP = ∠MRH (по условию),
3) ∠APK = ∠RHM (по условию).
Значит, ΔKAP = ΔMRH по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.4

На рисунке ниже изображены треугольники OFE и TBH. Известно, что OF=TB, FE=BH, OE=TH.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) докажите, что ΔOFE = ΔTBH.

[Ответ: 1) OF=TB (по условию),
2) FE=BH (по условию),
3) OE=TH (по условию).
Значит, ΔOFE = ΔTBH по III признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи на доказательство по готовым рисункам

4.5

На рисунке ниже AK=MC, KM=AC.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) AK=MC (по условию),
2) KM=AC (по условию),
3) KC - общая.
Значит, ΔAKC = ΔMCK по III признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.6

На рисунке ниже XN=XB, ∠XNK = ∠XBO.
а) обозначьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) XN=XB (по условию),
2) ∠XNK = ∠XBO (по условию),
3) ∠NXK = ∠OXB как вертикальные.
Значит, ΔOXB = ΔKXN по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.7

На рисунке ниже ∠EBT = ∠STB, ∠ETB = ∠SBT.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) ∠EBT = ∠STB (по условию),
2) ∠ETB = ∠SBT (по условию),
3) BT - общая.
Значит, ΔEBT = ΔSTB по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.8

На рисунке ниже TR=TM, ∠MTB = ∠RTB.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) TR=TM (по условию),
2) ∠MTB = ∠RTB (по условию),
3) TB - общая.
Значит, ΔTMB = ΔTRB по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.9

На рисунке ниже MB=BS, XB = BZ.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) MB=BS (по условию),
2) XB = BZ (по условию),
3) ∠MBX = ∠SBZ как вертикальные.
Значит, ΔMXB = ΔSZB по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.10

На рисунке ниже ∠SRA = ∠FRA, ∠RAF = 90^o.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке, а также указанный прямой угол;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) ∠SRA = ∠FRA (по условию),
2) ∠RAS = 180^o − ∠RAF = 90^o (смежные) => ∠RAS = ∠RAF,
3) AR - общая.
Значит, ΔASR = ΔAFR по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.11

На рисунке ниже BP=OA, ∠BPA = ∠OAP.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) BP=OA (по условию),
2) ∠BPA = ∠OAP (по условию),
3) PA - общая.
Значит, ΔBPA = ΔOAP по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи без готовых рисунков

4.12

В треугольнике DZE к стороне ZE проведен срединный перпендикуляр, который пересекает сторону DZ в точке K. Найдите длину отрезка DK, если DZ = 17 см, EK = 13 см.
[Ответ: 4 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.13

Отрезки CP и MZ пересекаются в точке X, и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ∠XCM = ∠XPZ.
[Ответ: Указание. Докажите, что ΔXCM = ΔXPZ.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.14

Дан четырехугольник EMDB, в котором EM=DB, MD=EB. Докажите, что ∠MEB=∠MDB.
[Ответ: Указание. Проведите отрезок MB и докажите равенство получившихся треугольников]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 5 (Геометрия, 7 класс). Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки (13 типов заданий)

Простые задачи на нахождение элементов равнобедренного треугольника

5.1

Основание равнобедренного треугольника равно 2 см, а длина боковой стороны 41 см. Найдите периметр треугольника.
[Ответ: 84]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.2

Периметр равнобедренного треугольника равен 146 см, а длина боковой стороны 41 см. Найдите основание треугольника.
[Ответ: 64]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.3

Периметр равнобедренного треугольника равен 95 см, а основание на 20 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: 45 см, 25 см, 25 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.4

Периметр равнобедренного треугольника равен 120 см, а основание относится к боковой стороне как 1:2. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: 24 см, 48 см, 48 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.5

В равнобедренном треугольнике DMS с основанием DS проведена медиана MN. Угол DMN равен 74^{\circ}. Найдите ∠DMS и ∠SNM.
[Ответ: 148^o и 90^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.6

Две стороны равнобедренного треугольника равны 18 см и 45 см. Чему может быть равна третья сторона?
[Ответ: 45 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество этих заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные варианты, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой.

Задачи на доказательство равенства треугольников

5.7

В равнобедренном треугольнике AOF с основанием AO на стороне AF взята точка T, а на стороне OF - точка E так, что FT = FE. Докажите, что ΔAEF = ΔOTF.
[Ответ: 1) AF=OF (по условию),
2) FT=FE (по условию),
3) ∠AFO - общий.
Значит, ΔAEF = ΔOTF по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.8

В равнобедренном треугольнике OEA с основанием OE на стороне OA взята точка Z, а на стороне EA - точка F так, что AZ = AF. Докажите, что ΔOFE = ΔEZO.
[Ответ: 1) OZ=EF, т.к. AZ=AF, и ΔOEA р/б,
2) OE - общая,
3) ∠ZOE = ∠FEO как равные углы при основании р/б ΔOEA.
Значит, ΔOFE = ΔEZO по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.9

В равнобедренном треугольнике PSZ с основанием PZ проведена медиана SC, на которой взята точка X. Докажите, что ΔPXS = ΔZXS.
[Ответ: 1) PS=SZ по условию,
2) SX - общая,
3) ∠PSX = ∠ZSX, т.к. медиана р/б ΔPSZ является также биссектрисой.
Значит, ΔPXS = ΔZXS по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.10

В равнобедренном треугольнике KTE с основанием KE проведена медиана TS, на которой взята точка N. Докажите, что ΔKNS = ΔENS.
[Ответ: 1) KS=SE по условию (TS - медиана),
2) SN - общая,
3) ∠NSK = ∠NSE = 90^o, т.к. медиана р/б ΔKTE является также высотой.
Значит, ΔKNS = ΔENS по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Вычислительные задачи на применение свойств и признаков равнобедренного треугольника

5.11

В треугольнике DMF с основанием DF медиана MT перпендикулярна основанию, а ∠ D M T = 62^{\circ}. Найдите углы треугольника DMF.
[Ответ: ∠M=124^o; ∠D=28^o; ∠F=28^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.12

Биссектриса DX является высотой треугольника ZDN, а периметр треугольника ZDX равен 27 см. Найдите периметр треугольника ZDN, если DX = 6 см.
[Ответ: 42]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.13

В треугольнике TDS проведены медиана DN и высота DM. Известно, что TS = 108 и DS = DN. Найдите TM.
[Ответ: 81]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 6 (Геометрия, 7 класс). Параллельность прямых (10 типов заданий)

Простейшие задания по готовым рисункам

6.1

На рисунке ниже изображены две прямые HO и CK, которые пересекаются секущей FR в точках D и S соответственно.
Сопоставьте буквенные обозначения углов и их названия.

Углы:
А) ∠KSD и ∠ODF
Б) ∠CSD и ∠SDO
В) ∠HDS и ∠ODS
Г) ∠CSD и ∠KSR
Д) ∠ODS и ∠KSD

Названия:
1) смежные
2) вертикальные
3) накрест лежащие
4) односторонние
5) соответственные

В таблицу занесите номера названий углов, соответствующие буквам

Буквы (углы):	А	Б	В	Г	Д
Цифры:

[Ответ: 53124]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.2

На рисунке ниже изображены треугольник TKC и прямая XB, которая пересекает стороны TK и TC в точках S и P соответственно.
Сопоставьте буквенные обозначения углов и их названия.

Углы:
А) ∠KCP и ∠BPC
Б) ∠XSK и ∠TSP
В) ∠XSK и ∠PSK
Г) ∠TPS и ∠KCP
Д) ∠KCP и ∠SPC

Названия:
1) смежные
2) вертикальные
3) накрест лежащие
4) односторонние
5) соответственные

В таблицу занесите номера названий углов, соответствующие буквам

Буквы (углы):	А	Б	В	Г	Д
Цифры:

[Ответ: 32154]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.3

На каких рисунках прямые a и b параллельны?

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

[Ответ: 1578]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи без готовых рисунков

6.4

Сумма накрест лежащих углов при параллельных прямых равна 254^o. Найдите эти углы.
[Ответ: 127^o и 127^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.5

Разность односторонних углов при параллельных прямых равна 80^o. Найдите эти углы.
[Ответ: 130^o и 50^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.6

Один из односторонних углов при параллельных прямых в 9 раз больше другого. Найдите эти углы.
[Ответ: 18^o и 162^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.7

Прямые h и k параллельны, их пересекает секущая a. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если один из них равен 178^o.
[Ответ: 178^o, 2^o, 178^o, 2^o, 178^o, 2^o, 178^o, 2^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.8

Прямые c и m параллельны, их пересекает секущая t. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если разность двух из них равна 26^o.
[Ответ: 103^o; 77^o; 103^o; 77^o; 103^o; 77^o; 103^o; 77^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.9

Прямые m и d параллельны, их пересекает секущая x. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если сумма двух из них равна 162^o.
[Ответ: 81^o, 99^o, 81^o, 99^o, 81^o, 99^o, 81^o, 99^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.10

Прямые x и c параллельны, их пересекает секущая k. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если градусные меры двух из них относятся как 4:5.
[Ответ: 80^o; 100^o; 80^o; 100^o; 80^o; 100^o; 80^o; 100^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 7 (Геометрия, 7 класс). Сумма углов треугольника. Внешний угол. Неравенство треугольника (26 типов заданий)

7.1

В треугольнике два угла равны 41^{\circ} и 58^{\circ}. Найдите третий угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 81^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.2

Найдите углы треугольника, если отношение их градусных мер равно 1:2:2.
[Ответ: 36^o; 72^o; 72^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.3

В равнобедренном треугольнике KRE с основанием KE угол K равен 16^{\circ}. Найдите остальные углы треугольника.
[Ответ: ∠E=16^o; ∠R=148^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.4

В равнобедренном треугольнике NHB с основанием NB угол H равен 140^{\circ}. Найдите остальные углы треугольника.
[Ответ: ∠N=20^o; ∠B=20^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.5

Один из углов равнобедренного треугольника равен 58^o. Чему могут быть равны остальные углы?
[Ответ: 58^o; 64^o или 61^o; 61^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество этих заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные варианты, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой.

7.6

В равнобедренном треугольнике RHX с основанием RX углы R и H относятся как 1:2. Найдите углы треугольника.
[Ответ: ∠R=45^o; ∠H=90^o; ∠X=45^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.7

В равнобедренном треугольнике PSH с основанием SH угол P на 33 градуса меньше угла S. Найдите углы треугольника.
[Ответ: ∠P=38^o; ∠S=71^o; ∠H=71^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.8

Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащего основанию, равен 86^o. Найдите внутренние углы треугольника.
[Ответ: 94^o, 43^o, 43^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.9

Внешний угол при вершине M треугольника FXM равен 25^o, а внутренний угол F в 24 раза меньше внутреннего угла X. Найдите внутренние углы треугольника.
[Ответ: ∠F=1^o; ∠X=24^o; ∠M=155^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.10

Внешний угол при вершине T треугольника NST равен 150^o, а внутренний угол N на 12^o больше внутреннего угла S. Найдите внутренние углы треугольника.
[Ответ: ∠N=81^o; ∠S=69^o; ∠T=30^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.11

Сторона PX треугольника PXS равна 47, сторона XS равна 44, сторона PS равна 24. Какой из углов треугольника - P, X или S - наибольший, а какой наименьший?
[Ответ: ∠S наибольший, ∠X наименьший]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.12

Могут ли стороны треугольника быть равными:
а) 48 см, 31 см, 30 см;
б) 4 см, 25 см, 14 см?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.13

Внешний угол при вершине F равнобедренного треугольника PMF равен 14^{\circ}. Найдите внутренние углы треугольника PMF.
[Ответ: ∠P=7^o; ∠M=7^o; ∠F=166^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.14

Внешний угол при вершине M равнобедренного треугольника BFM равен 160^{\circ}. Чему могут быть равны внутренние углы треугольника BFM?
[Ответ: ∠B=140^o; ∠F=20^o; ∠M=20^o или ∠B=80^o; ∠F=80^o; ∠M=20^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.15

Периметр треугольника равен 50 см. Может ли одна из его сторон быть равной: а) 2 см; б) 40 см?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.16

Стороны ND и NK треугольника NDK равны 12 и 5 см. Может ли его периметр быть равным: a) 28 см; б) 39 см; в) 34 см?
[Ответ: a) да; б) нет; в) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.17

Боковая сторона FX равнобедренного треугольника FZX относится к основанию как 2:17, а его периметр равен 63 см. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: Задача не имеет решения, такого треугольника не существует]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.18

Стороны треугольника KFS относятся к основанию как 4:9:17, а его периметр равен 60 см. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: Задача не имеет решения, такого треугольника не существует]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.19

В равнобедренном треугольнике NMP с основанием MP провели биссектрису MT. Оказалось, что угол NTM равен 93^{\circ}. Найдите угол MNP.
[Ответ: 56^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.20

Точка N принадлежит стороне OC треугольника OCR, ∠NRO = 9^o, ∠NRC = 27^o, CN=CR. Найдите углы треугольника OCR.
[Ответ: ∠O=18^o; ∠C=126^o; ∠R=36^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.21

Отрезок DR - биссектриса треугольника DXS, в котором ∠XDS=82^o. Через точку S проведена прямая, параллельная DR, и эта прямая пересекает прямую DX в точке M. Найдите углы треугольника MDS.
[Ответ: ∠M=41^o; ∠D=98^o; ∠S=41^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.22

В равнобедренном треугольнике XTD с основанием XD на стороне TD отметили точку F. Оказалось, что TF = XF = XD. Докажите, что XF - биссектриса треугольника XTD.
[Ответ: Указание. Примите ∠XDF за x, и выразите через x углы FXD и FXT]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.23

В треугольнике AFB проведена биссектриса AS, угол ASB равен 43°, угол AFB равен 23°. Найдите угол ABF. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 117]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.24

В треугольнике KHR HF — медиана и HN – высота. Известно, что KR = 196, NR = 49 и ∠KRH = 49°. Найдите угол KFH. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 131]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.25

В остроугольном треугольнике NPC проведена высота PO, ∠PNC=84°. Найдите угол NPO. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 6]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.26

В треугольнике SBM угол M равен 54°. Найдите внешний угол при вершине M. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 126]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 8 (Геометрия, 7 класс). Прямоугольные треугольники (7 типов заданий)

Нахождение элементов прямоугольного треугольника

8.1

На рисунке изображён прямоугольный треугольник EBA с прямым углом B. Отметьте значком указанный прямой угол и укажите:

a) катеты треугольника;
б) гипотенузу треугольника;
в) катет, прилежащий к углу E;
г) катет, противолежащий углу E;
д) меньший катет;
е) угол, лежащий напротив большего катета.

[Ответ: а) EB, AB; б) EA в) BE г) BA д) BE е) ∠BEA]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.2

Один из острых углов прямоугольного треугольника в 9 раз больше другого. Найдите углы треугольника.
[Ответ: 9^o, 81^o, 90^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.3

Один из острых углов прямоугольного треугольника на 68^{\circ} меньше другого. Найдите углы треугольника.
[Ответ: 11^o; 79^o; 90^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.4

Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 3:7. Найдите эти углы.
[Ответ: 27^o и 63^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Про катет, противолежащий углу в 30 градусов

8.5

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 150, а один из углов равен 30^{\circ}.
[Ответ: 75]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.6

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 96. Найдите гипотенузу треугольника.
[Ответ: 64]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.7

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам. Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 26. Найдите гипотенузу треугольника.
[Ответ: 52]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 10 (Геометрия, 8 класс). Четырехугольники (11 типов заданий)

10.1

На рисунке изображён четырехугольник ZXHT. Укажите:

а) вершины четырехугольника;
б) стороны четырехугольника;
в) углы четырехугольника
г) соседние вершины;
д) противолежащие вершины;
е) соседние стороны;
ж) противолежащие стороны;
з) соседние углы;
и) противолежащие углы.

[Ответ: а) Z, X, H, T; б) ZX, XH, HT, ZT; в) ∠Z, ∠X, ∠H, ∠T ; г) Z и X; X и H; H и T; Z и T; д) Z и H; X и T; е) ZX и XH; XH и HT; HT и ZT; ZX и ZT; ж) ZX и HT; XH и ZT; з) ∠Z и ∠X; ∠X и ∠H; ∠H и ∠T; ∠Z и ∠T; и) ∠Z и ∠H; ∠X и ∠T.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.2

Три угла выпуклого четырехугольника равны 125^{\circ}, 37^{\circ}, 145^{\circ}. Чему равен четвертый угол?
[Ответ: 53^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.3

Углы четырехугольника относятся как 3:4:6:7. Найдите эти углы.
[Ответ: 54^o; 72^o; 108^o; 126^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.4

Один из углов четырехугольника в 4 раза меньше другого, в 3 раза меньше третьего, а четвертый равен 96^{\circ}. Найдите неизвестные углы четырехугольника.
[Ответ: 33^o; 132^o; 99^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.5

Одна из сторон четырехугольника в 5 раз меньше другой и в 2 раза меньше третьей. Четвертая сторона равна 42 см, а периметр равен 114 см. Найдите неизвестные стороны четырехугольника.
[Ответ: 9 см, 45 см, 18 см, 42 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.6

В четырехугольнике RKPD RK = RD и PK = PD, ∠R=77^o, ∠P=161^o. Найдите остальные углы четырехугольника.
[Ответ: ∠K = ∠D = 61^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.7

Диагональ KM четырехугольника KTMP образует со сторонами KT и KP равные углы. Эта же диагональ образует со сторонами TM и MP равные углы. Найдите периметр четырехугольника, если KT=41 см, MP=43 см.
[Ответ: 168 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.8

В треугольнике XPS проведены биссектрисы XD и PT. Точка C является точкой их пересечения. Найдите все углы четырехугольника TCDS, если ∠X = 104^o, ∠P = 64^o.
[Ответ: ∠T=136^o; ∠C=96^o; ∠D=116^o; ∠S=12^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.9

В треугольнике TFM проведены высоты TP и FB. Точка E является точкой их пересечения. Найдите все углы четырехугольника BEPM, если ∠T = 54^o, ∠F = 68^o.
[Ответ: ∠B=90^o; ∠E=122^o; ∠P=90^o; ∠M=58^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.10

Периметр четырехугольника равен 61 см. В нём провели диагональ. Оказалось, что эта диагональ разбила четырехугольник на два треугольника с периметрами 45 см и 56 см. Чему равна проведенная диагональ?
[Ответ: 20 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.11

Могут ли стороны четырехугольника быть равными:
а) 46 см, 12 см, 1 см, 25 см;
б) 15 см, 34 см, 43 см, 20 см?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 11 (Геометрия, 8 класс). Параллелограмм (26 типов заданий)

11.1

Периметр параллелограмма равен 120 см. Найдите его стороны, если одна из них на 40 см больше другой.
[Ответ: 50 см и 10 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.2

Периметр параллелограмма равен 42 см. Найдите его стороны, если одна из них больше другой в 20 раз.
[Ответ: 1 см и 20 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.3

Периметр параллелограмма равен 130 см. Найдите его стороны, если они относятся как 1:12.
[Ответ: 5 см и 60 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.4

Дан параллелограмм HPSF, в котором E - точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника SEF, если HP = 39 см, HS = 62 см, PF = 44 см.
[Ответ: 92 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.5

На стороне SC треугольника KSC взята точка X. Через эту точку проведены две прямые: одна из них параллельна стороне KC, и пересекает KS в точке O, а другая параллельна KS, и пересекает KC в точке P. Найдите углы четырехугольника KOXP, если ∠S=142^o, ∠C=6^o.
[Ответ: ∠K=32^o; ∠O=148^o; ∠X=32^o; ∠P=148^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.6

Дан параллелограмм MBAT такой, что ∠MBT = 77^o, ∠MTB = 82^o. Найдите углы параллелограмма MBAT.
[Ответ: ∠M=21^o; ∠B=159^o; ∠A=21^o; ∠T=159^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.7

Сумма двух углов параллелограмма равна 238°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 61]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.8

Один угол параллелограмма больше другого на 90^o. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 135]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.9

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 23^o и 153^o. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 4]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.10

Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 5:7. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 105]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.11

Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 11 : 16, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 152.
[Ответ: 54]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.12

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 39. Найдите его большую сторону.
[Ответ: 78]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.13

Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 52^o. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 116]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.14

Один угол параллелограмма в 19 раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 9]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.15

В параллелограмме EZSR проведена диагональ ES. Угол RES равен 64°, а угол SEZ равен 34°. Найдите меньший угол параллелограмма EZSR. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 82]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.16

На продолжении стороны OF параллелограмма OSCF за точкой F отмечена точка N так, что FC = FN. Найдите больший угол параллелограмма OSCF, если ∠FNC = 68°. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 136]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.17

В параллелограмме ETOS диагональ EO в 2 раза больше стороны ET и ∠EOS=148^o. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 16]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.18

Один из углов параллелограмма равен 54°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 126]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.19

Диагонали HK и BT параллелограмма HBKT пересекаются в точке C, HK = 18, BT = 72, HB = 28. Найдите TC.
[Ответ: 36]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.20

Из вершины D тупого угла параллелограмма HDFP проведена высота DS. HS = 19 см, SP = 21 см, ∠HDS = 30^o. Найдите углы и периметр параллелограмма.
[Ответ: ∠H=60°; ∠D=120°; ∠F=60°; ∠P=120°; P=156 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.21

Из вершины H тупого угла параллелограмма BHXE проведена высота HT, равная 1 см и делящая сторону BE пополам. Найдите BE, если один из углов параллелограмма равен 45^o.
[Ответ: 2 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.22

В параллелограмме XOZC ∠XOZ = 104^o, ∠ZXC = 38^o. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.
[Ответ: 9 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.23

Диагональ параллелограмма является его высотой, а один из углов параллелограмма равен 120^o. Найдите периметр параллелограмма, если его меньшая сторона равна 11.
[Ответ: 66]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.24

Биссектриса угла H параллелограмма HOTE пересекает сторону OT в точке A. Найдите периметр параллелограмма, если OA = 26, AT = 6.
[Ответ: 116]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.25

Биссектриса угла B параллелограмма BFXK пересекает сторону FX в точке A, причём FA в 14 раз меньше XA. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 192 см.
[Ответ: 6 см и 90 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.26

Медиану RH треугольника RKF продолжили за точку H на расстояние HP, равное ей самой. Докажите, что четырехугольник RKPF - параллелограмм.
[Ответ: Указание. Воспользуйтесь признаком параллелограмма, связанным с пересечением диагоналей]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

✍

Тема 12 (Геометрия, 8 класс). Прямоугольник (7 типов заданий)

12.1

В прямоугольнике OBEC точка R является точкой пересечения диагоналей. ∠ERC = 88°. Найдите ∠BRE и ∠BOE.
[Ответ: ∠BRE = 92°; ∠BOE = 46°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.2

В прямоугольнике XADZ точка C является точкой пересечения диагоналей. ∠XZA = 30°, AZ = 6 см. Найдите углы и периметр треугольника XCA.
[Ответ: все углы по 60°; P=9 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.3

В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 38 см. Чему равна диагональ прямоугольника?
[Ответ: 76 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.4

На стороне EZ прямоугольника TEZM отметили её середину - точку A. Оказалось, что AT⊥AM. Меньшая сторона прямоугольника равна 15 см. Найдите его периметр.
[Ответ: 90 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.5

На гипотенузе прямоугольного треугольника с равными катетами отметили точки M и N, а на катетах - точки E и O таким образом, что фигура MNEO оказалась прямоугольником. Найдите стороны этого прямоугольника, если гипотенуза треугольника равна 187 см, а MN:NE = 1:5.
[Ответ: 17 см и 85 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.6

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ZBX с катетами, равными 36 см. На катете ZX взята точка A, на катете BX - точка M, а на гипотенузе - точка N так, что XANM - прямоугольник. Найдите периметр этого прямоугольника.
[Ответ: 72 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.7

К гипотенузе прямоугольного треугольника проведена медиана, равная 13 см. Найдите гипотенузу.
[Ответ: 26 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 13 (Геометрия, 8 класс). Ромб (18 типов заданий)

13.1

Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 62°. Найдите углы ромба.
[Ответ: 124°; 56°; 124°; 56°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.2

Диагонали ромба ORNZ пересекаются в точке S. Найдите углы треугольника OSR, если ∠RNZ = 114°.
[Ответ: ∠O = 57°; ∠R = 33°; ∠S = 90°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.3

В ромбе KPBD проведена высота PS из вершины тупого угла P. Периметр ромба равен 64, а PS = 8. Найдите ∠KPB.
[Ответ: 150°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.4

Найдите углы ромба CPRX, если известно, что угол X в 13 раз раз больше угла RCX.
[Ответ: ∠C = 24°; ∠P = 156°; ∠R = 24°; ∠X = 156°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.5

Сторона ромба образует с его диагоналями углы, которые относятся как 2:7. Найдите углы ромба.
[Ответ: 40^o; 140^o; 40^o; 140^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.6

В ромбе DBFO отметили точку X - середину стороны DB, и точку T - середину стороны BF. Оказалось, что XO = 90. Чему равна длина отрезка TO? Ответ обоснуйте.
[Ответ: 90, т.к. ΔDXO = ΔFTO по I признаку]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.7

В ромбе HMAZ отметили точку P - середину стороны HM, и точку N - середину стороны MA. Оказалось, что ∠PZM = 19°. Чему равен ∠NZM? Ответ обоснуйте.
[Ответ: 19°, т.к. ΔPMZ = ΔNMZ по I признаку]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.8

В ромбе RFNK провели высоту FO. Оказалось, что RO = OK.
а) найдите углы ромба;
б) найдите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 29.
[Ответ: а) ∠R = ∠N = 60°; ∠F = ∠K = 120°; б) 116]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.9

На сторонах FZ и FP ромба FZRP отметили точки S и C так, что FS = FC. Докажите, что треугольник RSC равнобедренный.
[Ответ: Указание. Рассмотрите ΔRZS и ΔRPC, из их равенства следует, что RS=RC.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.10

На стороне EM треугольника XEM отметили точку Z и провели через неё две прямые: одна из них параллельна XM и пересекает сторону XE в точке P, а другая параллельна XE и пересекает сторону XM в точке S. Докажите, что если XZ - биссектриса треугольника, то XZ⊥PS.
[Ответ: ∠ZXM = ∠PZX (накрест леж.), => ΔXPZ р/б => XPZS - ромб => XZ⊥PS.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.11

В параллелограмме OAXN проведены биссектрисы углов O и A, которые пересекают стороны AX и ON в точках C и P соответственно.
а) найдите CP, если AC = 133 см;
б) найдите угол AZC, где Z - точка пересечения биссектрис.
[Ответ: а) 133 см; б) 90°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.12

RC - биссектриса треугольника NRD. Через середину RC проведена прямая, перпендикулярная RC и пересекающая стороны NR и RD в точках S и H соответственно.
а) найдите периметр четырехугольника RSCH, если SR = 45 см;
б) найдите углы этого четырехугольника, если ∠N = 131°, ∠D = 44°.
[Ответ: а) 180 см; б) ∠R = ∠C = 5°; ∠S = ∠H = 175°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.13

Сторона ромба равна 42, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
[Ответ: 21; 21]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.14

Один из углов ромба равен 137°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 43]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.15

В ромбе KSHZ угол KSH равен 116°. Найдите угол KHZ. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 32]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.16

Сторона ромба равна 8, а сумма двух углов этого ромба равна 60°. Найдите высоту ромба.
[Ответ: 4]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.17

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 64.
[Ответ: 256]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.18

Угол между стороной и диагональю ромба равен 77°. Найдите острый угол ромба. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 26]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 14 (Геометрия, 8 класс). Квадрат (1 тип заданий)

14.1

HTXP - квадрат, в котором точка C - точка пересечения диагоналей.
а) найдите углы треугольника HTX;
б) найдите углы треугольника HCT.
[Ответ: а)∠H=45°; ∠T=90°; ∠X=45° б) ∠H=45°; ∠C=90°; ∠T=45°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 15 (Геометрия, 8 класс). Средняя линия треугольника (8 типов заданий)

15.1

В треугольнике ANO AN = 40 см, NO = 38 см, AO = 36 см. Найдите средние линии этого треугольника.
[Ответ: 20 см, 19 см, 18 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.2

Точки S и E являются серединами сторон OB и BP треугольника OBP, сторона OB равна 36, сторона BP равна 30, сторона OP равна 10. Найдите SE.
[Ответ: 5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.3

A - середина стороны RS, E - середина стороны RP треугольника RSP. Периметр треугольника ARE равен 76 см. Найдите периметр треугольника RSP.
[Ответ: 152 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.4

Средние линии треугольника BPR равны между собой. Найдите углы треугольника BPR и его периметр, если каждая из средних линий равна 17.
[Ответ: ∠B = ∠P = ∠R = 60°; P = 102 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.5

ZR - средняя линия треугольника BEC, параллельная стороне BC. Найдите BC и ZR, если BC − 42 см = ZR.
[Ответ: BC = 84 см; ZR = 42 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.6

Точки P и K - середины сторон SB и BD треугольника SBD соответственно, BC - медиана треугольника, O - точка пересечения отрезков BC и PK.
а) чему равна медиана BC, если BO = 50 см?
б) найдите SD, если PO = 87 см;
в) найдите углы четырехугольника BPCK, если ∠S=125°, ∠D=11°.
[Ответ: а) 100 см; б) 348 см; в) ∠B = ∠C = 44°; ∠P = ∠K = 136°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.7

В равнобедренном треугольнике SCO с основанием SO проведена средняя линия, параллельная этому основанию и равная 29 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 136 см.
[Ответ: SC = 39 см; CO = 39 см; SO = 58 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.8

Диагонали четырехугольника равны 43 и 57. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
[Ответ: 100]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 16 (Геометрия, 8 класс). Трапеция (41 тип заданий)

Нахождение сторон и углов трапеции

16.1

В равнобокой трапеции большее основание равно 35 см, меньшее - 1 см, а периметр трапеции равен 188 см. Найдите боковую сторону.
[Ответ: 76]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.2

Одно из оснований трапеции на 25 см меньше другого. Найдите основания, если боковые стороны равны 67 см и 73 см, а периметр составляет 355 см.
[Ответ: 120 см и 95 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.3

Углы при одном из оснований трапеции равны 101° и 166°. Найдите остальные углы трапеции.
[Ответ: 79°; 14°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.4

Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 92°. Найдите эти углы.
[Ответ: 136°; 44°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.5

Два угла, прилежащие к боковой стороне трапеции, относятся как 5:4. Найдите эти углы.
[Ответ: 100^o и 80^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.6

Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 170°? Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 175]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.7

Один из углов равнобокой трапеции равен 122°. Найдите остальные её углы.
[Ответ: 122°; 58°; 58°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.8

В равнобокой трапеции ZCAF ∠A − ∠Z = 142°. Найдите углы трапеции.
[Ответ: ∠C = ∠A = 161°; ∠Z = ∠F = 19°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.9

EX - высота равнобокой трапеции OECA, проведенная из вершины тупого угла E. ∠OEX = 5°. Найдите углы трапеции OECA.
[Ответ: ∠E = ∠C = 95°; ∠O = ∠A = 85°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.10

В трапеции KPAB ∠K = ∠B, KP = 34 см. Чему равна сторона AB? Ответ обоснуйте.
[Ответ: AB = 34 см, для доказательства проведите высоты PM и AX и докажите, что ΔKPM = ΔBAX]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.11

OF - высота равнобокой трапеции POHM, проведенная из вершины тупого угла O. PF = 44 см, FM = 74 см. Найдите основание OH.
[Ответ: 30 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.12

В равнобедренной трапеции основания равны 92 см и 82 см, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.
[Ответ: 194 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции находятся задачи, в которых острый угол трапеции равен 60°.

Различных видов условия: 3 (если Вы добавите в карточки до 3 этих заданий, у каждого ученика будет до 3 задач с немного разным условием).

16.13

В равнобокой трапеции MDPT ∠M = 45°, DP = 50 см, высота трапеции равна 2 см. Найдите большее основание.
[Ответ: 54 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции находятся задачи, в которых острый угол трапеции равен 45°.

Различных видов условия: 3 (если Вы добавите в карточки до 3 этих заданий, у каждого ученика будет до 3 задач с немного разным условием).

16.14

Диагональ OP равнобокой трапеции OXPT образует с основанием OT угол 10°, а с боковой стороной OX угол 5°. Найдите углы трапеции.
[Ответ: ∠O = ∠T = 15°; ∠X = ∠P = 165°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.15

Диагональ TZ равнобокой трапеции TRZH образует с основанием TH угол 36°, а с боковой стороной TR угол 12°. Найдите углы TZR и TZH.
[Ответ: ∠TZR = 36°; ∠TZH = 96°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.16

В прямоугольной трапеции один из углов равен 70°. Найдите остальные углы.
[Ответ: 90°; 90°; 110°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.17

В трапеции XANR через вершину N проведен отрезок, параллельный боковой стороне XA и пересекающий сторону XR в точке M. Найдите периметр трапеции, если её меньшее основание равно 34 см, а периметр треугольника NMR равен 85 см.
[Ответ: 153 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.18

В трапеции MPRC через вершину R проведен отрезок, параллельный боковой стороне MP и пересекающий сторону MC в точке Z. Найдите углы трапеции, если ∠C = 23°, ∠CRZ = 114°.
[Ответ: ∠M = 43°; ∠P = 137°; ∠R = 157°; ∠C = 23°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.19

В трапеции HFNM HF = NM, ∠HFM = ∠NFM, периметр трапеции равен 126 см. Найдите её стороны, если основания относятся как 6:19.
[Ответ: HF = HM = NM = 38 см, FN = 12 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.20

Стороны трапеции равны 58 см, 58 см, 58 см, 116 см. Найдите углы трапеции.
[Ответ: 60°, 120°, 120°, 60°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.21

В трапеции DEPN (DN||EP) DP⊥PN, ∠EDP = ∠NDP, ∠N = 60°. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 250 см.
[Ответ: DE = EP = PN = 50 см; DN = 100 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.22

В равнобокой трапеции PKTA PK = KT, PT = PA. Найдите ∠A.
[Ответ: 72°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи из ОГЭ/ЕГЭ на нахождение сторон и углов трапеции

16.23

Найдите угол PNZ равнобедренной трапеции PRZN, если диагональ PZ образует с основанием RZ и боковой стороной PR углы, равные 29° и 27° соответственно. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 56]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.24

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 70]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.25

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 19:71. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 38]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.26

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции CZOP, если диагональ CO образует с основанием ZO и боковой стороной OP углы, равные 56° и 96° соответственно.
[Ответ: 28]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.27

Найдите угол BEC равнобедренной трапеции BECZ, если диагональ BC образует с основанием BZ и боковой стороной CZ углы, равные 13° и 106° соответственно. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 119]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.28

Найдите больший угол равнобедренной трапеции SHAN, если диагональ SA образует с основанием SN и боковой стороной SH углы, равные 49° и 30° соответственно. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 101]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.29

Один из углов прямоугольной трапеции равен 124°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 56]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Средняя линия трапеции

16.30

Разность оснований трапеции равна 10 см, а средняя линия 88 см. Найдите основания трапеции.
[Ответ: 83 см и 93 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.31

Средняя линия трапеции равна 37 см, меньшее основание 32 см. Найдите большее основание
[Ответ: 42 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.32

Основания трапеции относятся как 31:28, а средняя линия равна 88.5 см. Найдите основания трапеции.
[Ответ: 93 см и 84 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.33

В трапеции AZNR ∠A = 90°, NK - высота, проведенная из вершины тупого угла N, AK = 49 см, KR = 38 см. Найдите среднюю линию трапеции.
[Ответ: 68 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.34

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 90 см и 80 см. Найдите среднюю линию этой трапеции.
[Ответ: 90 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.35

В трапеции EKAC ∠E = 90°, AH - высота, проведенная из вершины тупого угла A, XB - средняя линия. Найдите KA и EC, если EH в 8 раз больше HC, а XB = 42.5 см.
[Ответ: 40 см; 45 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.36

В трапеции NBHA NB = HA = 10 см, NA - большее основание, равное 56 см, ∠N = 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
[Ответ: 51 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.37

В трапеции HSKZ HS = KZ, HK = 78 см. Известно, что отрезок HK образует с основанием трапеции угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
[Ответ: 39 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи из ОГЭ/ЕГЭ на среднюю линию трапеции

16.38

Основания трапеции равны 90 см и 2 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
[Ответ: 45]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.39

Основания трапеции равны 63 и 73, а высота равна 51. Найдите среднюю линию этой трапеции.
[Ответ: 68]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.40

Основания трапеции равны 95 и 73. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
[Ответ: 11]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.41

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 137. Найдите ее среднюю линию.
[Ответ: 137]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 17 (Геометрия, 8 класс). Окружность, дуги, центральные и вписанные углы (40 типов заданий)

Простейшие задачи на нахождение дуг и углов

17.1

Центральный угол окружности опирается на дугу, составляющую \frac{1}{3} окружности. Чему равна градусная мера угла?
[Ответ: 120°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.2

Две точки делят окружность на две дуги, градусная мера одной из которых на 108° меньше градусной меры другой. Сколько градусов составляет большая дуга? Меньшая дуга?
[Ответ: 234° и 126°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.3

Две точки делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 2:3. Сколько градусов составляет большая дуга?
[Ответ: 216°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Простые задачи из ОГЭ/ЕГЭ по готовым рисункам на нахождение центральных и вписанных углов

17.4

На рисунке ∠AOC = 146°. Найдите ∠ADC.

[Ответ: 73°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол, нужно найти вписанный. Стороны вписанного угла не пересекают стороны центрального.

17.5

На рисунке ∠MOZ = 80°. Найдите ∠MSZ.

[Ответ: 40°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол, нужно найти вписанный. Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

17.6

На рисунке ∠TES = 40°. Найдите ∠TBS.

[Ответ: 80°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, нужно найти центральный. Стороны вписанного угла не пересекают стороны центрального.

17.7

На рисунке ∠DCZ = 46°. Найдите ∠DHZ.

[Ответ: 92°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, нужно найти центральный. Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

17.8

На рисунке ∠TSP = 54°. Найдите ∠TXP.

[Ответ: 27°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол, нужно найти вписанный.

17.9

На рисунке ∠HRE = 27°. Найдите ∠HAE.

[Ответ: 54°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, нужно найти центральный.

17.10

На рисунке ∠NZR = 150°. Найдите ∠NAR.

[Ответ: 105°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол (меньшая дуга), нужно найти вписанный, опирающийся на большую дугу.

17.11

На рисунке ∠RNZ = 131°. Найдите ∠RMZ.

[Ответ: 98°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, опирающийся на большую дугу, нужно найти центральный (меньшую дугу).

17.12

На рисунке центральный угол BTX больше вписанного угла BAX на 42°. Найдите эти углы.

[Ответ: ∠BAX = 42°; ∠BTX = 84°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи без рисунков на нахождение дуг и углов

17.13

Хорда BZ стягивает дугу 15°, а хорда ZF - дугу в 166°. Найдите ∠BZF.
[Ответ: 89.5°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.14

Хорда EA стягивает дугу 27°, а ∠EAB = 122.5°. Найдите дугу, стягиваемую хордой AB.
[Ответ: 88°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.15

Точки H и A делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 2:3. Найдите углы HOA и HFA.

[Ответ: ∠HOA = 72°; ∠HFA = 108°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.16

На окружности взяты три точки A, E и Z так, что ◡AE:◡EZ:◡AZ = 1:5:2.
а) найдите градусные меры дуг AE, EZ, AZ;
б) найдите углы треугольника AEZ.
[Ответ: а) ◡AE = 45°; ◡EZ = 225°; ◡AZ = 90°; б) ∠A = 112.5°; ∠E = 45°; ∠Z = 22.5°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.17

На окружности взяты точки F, N, M так, что в треугольнике FNM ∠F = ∠M. Найдите углы ΔFNM, если хорда FN стягивает дугу в 26°.
[Ответ: ∠F = ∠M = 13°; ∠N = 154°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.18

MA и NK - диаметры одной окружности.
а) найдите углы четырехугольника MNAK;
б) найдите ◡AK, если ∠MAK = 21°.
[Ответ: а) все углы по 90°; б) 138°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.19

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 64 см. Найдите гипотенузу треугольника.
[Ответ: 128 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи из ОГЭ/ЕГЭ на окружность

17.20

Центральный угол CKM опирается на хорду CM длиной 109. При этом угол KCM равен 60°. Найдите радиус окружности.

[Ответ: 109]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.21

В окружности с центром в точке Z проведены диаметры DC и KN, угол ZNC равен 43°. Найдите величину угла ZDK. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 43]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.22

Найдите градусную меру центрального ∠CFT, если известно, что TZ — диаметр, а градусная мера ∠CTZ равна 15°.

[Ответ: 150]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные случаи, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой

17.23

Найдите градусную меру ∠SBT, если известно, что TB является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠SMB равна 23°.

[Ответ: 78.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные случаи, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой

17.24

В окружности с центром B проведены диаметры TF и ZM. Угол TFZ равен 59°. Найдите угол TBM. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 62]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.25

Точки M, E, X и C лежат на одной окружности так, что хорды ME и XC взаимно перпендикулярны, а ∠ECX = 29°. Найдите величину угла MXC. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 61]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.26

Треугольник THZ вписан в окружность с центром в точке D. Найдите градусную меру угла Z треугольника THZ, если угол TDH равен 42°.

[Ответ: 21]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.27

На окружности с центром C отмечены точки H и A так, что ∠HCA = 8°. Длина меньшей дуги HA равна 12. Найдите длину большей дуги.

[Ответ: 528]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.28

Точка F — центр окружности, на которой лежат точки D, H и S таким образом, что FDHS — ромб. Найдите угол DFS. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 120°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.29

На окружности по разные стороны от диаметра TS взяты точки C и D. Известно, что ∠DST = 22°. Найдите угол DCS. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 68]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.30

Точка H – центр окружности, на которой лежат точки C, K и S. Известно, что ∠CKS = 45° и ∠HCK = 6°. Найдите угол KSH. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 39]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.31

Прямая касается окружности в точке H. Точка P — центр окружности. Хорда HF образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла PFH. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 7]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.32

В угол Z величиной 78° вписана окружность с центром C, которая касается сторон угла в точках B и M. Найдите угол BCM. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 102]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.33

Центр окружности, описанной около треугольника ZAE, лежит на стороне ZE. Найдите угол ZEA, если угол AZE равен 34°. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 56]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.34

В угол величиной 84° вписана окружность, которая касается его сторон в точках M и A. На одной из дуг этой окружности выбрали точку D так, как показано на рисунке. Найдите величину угла MDA.

[Ответ: 48]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.35

Окружность с центром в точке P описана около равнобедренного треугольника EFB, в котором EF = FB и ∠EFB = 179°. Найдите величину угла FPB. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 1]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.36

Точки A, M, F, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 3:2:4. Найдите больший угол треугольника AMF. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 80]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.37

Четырехугольник ZEMX вписан в окружность. Угол ZEX равен 4°, угол MZX равен 15°. Найдите угол ZEM. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 19]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.38

Стороны четырехугольника RHAK RH, HA, AK и RK стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 94°, 113°, 132°, 21°. Найдите угол H этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 76.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.39

Точки F, K, M, S, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги FK, KM, MS и FS, градусные величины которых относятся соответственно как 2:3:3:4. Найдите угол F четырехугольника FKMS. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 90]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.40

Четырехугольник ACPK вписан в окружность. Угол ACP равен 39°, угол ACK равен 16°. Найдите угол PAK. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 23]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 18 (Геометрия, 8 кл). Вписанные и описанные четырехугольники (9 типов заданий)

18.1

Углы четырехугольника EXBA равны:
а) ∠E = 128°; ∠X = 77°; ∠B = 103°; ∠A = 52°;
б) ∠E = 165°; ∠X = 27°; ∠B = 15°; ∠A = 153°.
Можно ли около него описать окружность?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.2

Углы M, B, T и X четырехугольника MBTX относятся как:
а) 2:3:6:4;
б) 1:2:8:7.
Можно ли около него описать окружность?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.3

Сторона PO прямоугольника POHZ равна 294, а ∠OAH = 120° (где A - точка пересечения диагоналей). Найдите радиус описанной около прямоугольника окружности.
[Ответ: 294]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.4

Стороны TZ, ZA, AK и TK четырехугольника TZAK соответственно равны
а) 11 см, 9 см, 37 см, 38 см;
б) 66 см, 51 см, 28 см, 43 см.
Можно ли в него вписать окружность?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.5

Стороны NP, PC, CK и NK четырехугольника NPCK относятся как
а) 1:8:10:3;
б) 43:71:36:5.
Можно ли в него вписать окружность?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.6

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции равна 3 см. Найдите её периметр.
[Ответ: 12 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.7

В четырехугольник MTBZ вписана окружность. Сторона MT равна 47 см, TB = 23 см, BZ = 15 см. Найдите MZ.
[Ответ: 39 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.8

В равнобедренную трапецию SCOR (CO||SR) вписана окружность с центром M, PB - высота трапеции, проходящая через точку M (точка P лежит на основании CO). Найдите угол CMB, если ∠CSB = 4°. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 178]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.9

Около четырехугольника AEBD описана окружность таким образом, что AD - её диаметр. ∠AEB = 163°, ∠EBD = 94°. Найдите углы EAD, ADB, BAD, EDA.
[Ответ: 86°; 17°; 73°; 4°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 19 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Пропорциональные отрезки, свойства биссектрисы и медианы (5 типов заданий)

19.1

Пропорциональны ли отрезки:
а) FS = 57 см и DE = 27 см отрезкам F₁S₁ = 76 см и D₁E₁ = 48 см?
б) AB = 7 см и NC = 5 см отрезкам A₁B₁ = 42 см и N₁C₁ = 30 см?
[Ответ: a) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.2

Через произвольную точку B стороны PN треугольника PNZ проведена прямая, параллельная NZ, которая пересекает сторону PZ в точке H. Найдите BN, если PH = 7 см, HZ = 70 см, PB = 5 см.
[Ответ: 50 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.3

Расстояние от точки пересечения биссектрис равностороннего треугольника ZPA до стороны ZP равно 2 см. Найдите его медиану PK.
[Ответ: 6 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.4

Медиана равностороннего треугольника NRT равна 84 см. Найдите расстояние от точки пересечения высот этого треугольника до стороны NT.
[Ответ: 28 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.5

S - точка пересечения медиан треугольника ORB, BN - медиана этого треугольника, равная 300 см. Найдите NS и SB.
[Ответ: 100 см и 200 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 20 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Определение подобия (5 типов заданий)

20.1

Даны подобные треугольники PCD и EHS, у которых ∠P = ∠E, ∠C = ∠H, ∠D = ∠S. Запишите отношения всех пропорциональных сторон в виде равенства (пропорции).
[Ответ: \frac{ P C }{ E H } = \frac{ C D }{ H S } = \frac{ P D }{ E S }]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.2

О треугольниках KOP и BED известно, что:
а) ∠K = 77°, ∠O = 16°, ∠B = 77°, ∠D = 95°.
б) ∠K = 40°, ∠O = 39°, ∠B = 40°, ∠D = 101°;
Подобны ли эти треугольники?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.3

Треугольник SZB подобен треугольнику DCH, причём коэффициент подобия равен 0.5 (SZ · 0.5 = DC). Известно, что ZB = 10 см, DC = 8.5 см, DH = 12 см. Найдите неизвестные стороны данных треугольников.
[Ответ: SZ = 17 см, SB = 24 см, CH = 5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.4

Треугольники TBR и T₁B₁R₁ подобны. Найдите отрезки B₁R₁ и T₁R₁, если TB = 37 см, BR = 30 см, TR = 43 см, T₁B₁ = 74 см.
[Ответ: B₁R₁ = 60 см; T₁R₁ = 86 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.5

Известно, что ΔTHE ∞ ΔT₁H₁E₁, и ∠T = 39°, ∠H = 66°. Найдите углы треугольника T₁H₁E₁.
[Ответ: 39°, 66°, 75°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 21 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Первый признак подобия (5 типов заданий)

21.1

На стороне CN треугольника CNE взяли точку K, а на стороне NE - точку M таким образом, что ∠NCE и ∠NMK оказались равными. Докажите подобие треугольников CNE и MNK.
[Ответ: 1) ∠NCE и ∠NMK по условию; 2) ∠N общий => ΔCNE ∞ ΔMNK по двум углам]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.2

Дан параллелограмм XPMS, в котором на стороне MS взята произвольная точка D. Прямые PD и XS пересекаются в точке F, которая находится вне параллелограмма. Найдите DF и FS, если MD = 12 см, SD = 3.6 см, PD = 11 см, XS = 15 см.
[Ответ: DF = 3.3 см; FS = 4.5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.3

В трапеции MPFZ с основаниями MZ = 6.2 см и PF = 31 см C - точка пересечения диагоналей. Найдите CF, если MC = 8.8 см.
[Ответ: 44 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.4

В трапеции RXNC с основаниями RC и XN диагонали пересекаются в точке P. Найдите основание RC, если основание XN равно 46 см, а XP:PC = 23:5.
[Ответ: 10 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.5

Подобны ли два прямоугольных треугольника, если:
а) один из углов первого треугольника равен 2°, а один из углов второго 88°,
б) один из углов первого треугольника равен 62°, а один из углов второго 31°?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 22 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Второй и третий признаки подобия (5 типов заданий)

22.1

На стороне EP угла PEX взята точка H так, что EH < EP, а на стороне EX взята точка Z так, что EZ < EX. Подобны ли треугольники EZH и EXP, если:
а) EZ = 15 см, EX = 30 см, EH = 22 см, EP = 44 см?
б) EZ = 45 см, EX = 90 см, EH = 37 см, EP = 72 см?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.2

На стороне EF треугольника EFB взята точка H так, что EH = \frac{3}{5}EB, а на стороне EB - точка D так, что ED = \frac{3}{5}EF. Известно, что FB = 40 см. Найдите сторону HD.
[Ответ: 24 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.3

В треугольнике XOK известны три стороны: XO = 29 см, XK = 18 см, OK = 33 см. Сторону XO продолжили за точку O на отрезок ON, равный 87 см, а сторону KO продолжили за точку O на отрезок OE, равный 99 см. Найдите EN.
[Ответ: 54 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.4

Точка E является точкой пересечения отрезков PA и TM. Она делит отрезок PA на отрезки PE = 34.5 см и AE = 23 см, а отрезок TM на TE = 60 см и EM = 40 см. Известно, что ∠PTE = 2°, ∠AEM = 47°. Найдите ∠EAM.
[Ответ: 131°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.5

В треугольнике COM известны три стороны: CO = 51 см, CM = 36 см, OM = 24 см. На стороне CM отметили точку R, а на стороне CO - точку P. Оказалось, что MR = 12 см, OP = 17 см. Найдите RP.
[Ответ: 16 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 23 (Геометрия, 8 кл). Решение прямоугольных треугольников. Метрические соотношения (5 типов заданий)

23.1

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 3 см и 75 см. Найдите: а) эту высоту; б) катеты треугольника.
[Ответ: а) 15 см; б) 3\sqrt{26} см; 15\sqrt{26} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.2

В прямоугольном треугольнике ZAS с прямым углом A провели высоту AH. Известно, что ZA = 14 см, ZH = 2 см. Найдите ZS и AS.
[Ответ: а) 98 см; б) 56\sqrt{3} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.3

В прямоугольном треугольнике NOS с прямым углом O провели высоту OF. Оказалось, что NF на 14 см меньше OF, а SF на 28 см больше OF. Найдите NF и SF.
[Ответ: 14 см; 56 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.4

В ромбе AHSC диагонали пересекаются в точке P, отрезок PB - высота треугольника APC. Известно, что CB:BA = 4:1, а также, что PB = 12 см. Найдите периметр ромба.
[Ответ: 120 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.5

Из точки C, лежащей на окружности, опустили перпендикуляр CX на диаметр NE. Оказалось, что CX = 9 см, NX = 3 см. Найдите радиус окружности.
[Ответ: 15 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 24 (Геометрия, 8 кл). Решение прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора (6 типов заданий)

24.1

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 72 и 54 см; б) 22 и 11 см.
[Ответ: а) 90 см; б) 11\sqrt{5} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.2

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и другой катет равны: а) 51 и 45 см; б) 49 и 31 см.
[Ответ: а) 24 см; б) 12\sqrt{10} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.3

В прямоугольнике FTXS FT = 75 см, TX = 40 см, R - точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника TRX.
[Ответ: 125 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.4

В треугольнике CFE CF = FE = 85 см, FT - высота, равная 77 см. Найдите CE.
[Ответ: 72 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.5

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 85 см до хорды этой же окружности длиной 150 см.
[Ответ: 40 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.6

Диагонали ромба равны 144 см и 108 см. Найдите его периметр.
[Ответ: 360 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 25 (Геометрия, 8 кл). Решение прямоугольных треугольников. Начала тригонометрии (10 типов заданий)

25.1

Постройте угол, синус которого равен \frac{3}{5}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.2

Постройте угол, косинус которого равен \frac{2}{3}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.3

Постройте угол, тангенс которого равен \frac{9}{5}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.4

Постройте угол, котангенс которого равен \frac{5}{7}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.5

Дан треугольник ONF с прямым углом N.
а) Заполните пропуски: sin ∠F = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; cos ∠F = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; tg ∠F = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; ctg ∠O = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}.
б) Найдите tg ∠O ⋅ tg ∠F.
в) Найдите cos ∠O − sin ∠F.
[Ответ: а) sin ∠F = \frac{ O N }{ O F }; cos ∠F = \frac{ N F }{ O F }; tg ∠F = \frac{ O N }{ N F }; ctg ∠O = \frac{ O N }{ N F }; б) 1; в) 0]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.6

Начертите треугольник ERB с прямым углом R, и проведите высоту RO.
а) Заполните пропуски: sin ∠ORB = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; tg ∠ORE = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; cos ∠E = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;} = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; ctg ∠B = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;} = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}
б) Укажите все пары равных острых углов на рисунке;
в) Если sin ∠E = 0.37, то чему равен sin ∠ORB?
[Ответ: а) sin ∠ORB = \frac{ O B }{ R B }; tg ∠ORE = \frac{ E O }{ R O }; cos ∠E = \frac{ E R }{ E B } = \frac{ R O }{ R B }; ctg ∠B = \frac{ R B }{ E R } = \frac{ B O }{ R O }; б) ∠E = ∠ORB; ∠B = ∠ORE; в) 0.37]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.7

Дан прямоугольный треугольник DFT с прямым углом T. Найдите синусы углов D и F, если DT = 14 см, FT = 48 см.
[Ответ: 0.96; 0.28]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.8

Дан прямоугольный треугольник KNM с прямым углом M. Найдите тангенсы углов K и N, если KN = 82 см, NM = 18 см.
[Ответ: \frac{9}{40}; \frac{40}{9}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.9

Синус острого угла α равен \frac{3}{4}. Найдите его косинус, тангенс и котангенс.
[Ответ: cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}; tg α = \frac{3}{\sqrt{7}}; ctg α = \frac{\sqrt{7}}{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.10

Косинус острого угла α равен \frac{5}{11}. Найдите его синус, тангенс и котангенс.
[Ответ: sin α = \frac{4\sqrt{6}}{11}; tg α = \frac{4\sqrt{6}}{5}; ctg α = \frac{5}{4\sqrt{6}}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 26 (Геометрия, 8 кл). Многоугольники. Сумма углов выпуклого n-угольника (3 типа заданий)

26.1

Найдите сумму углов выпуклого 21-угольника.
[Ответ: 3420°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

26.2

Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) 520°; б) 4680°?
Если да, то укажите количество его сторон. Если нет, то ответ обоснуйте.
[Ответ: а) нет, т.к. 520 не кратно 180; б) да, это 28-угольник]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

26.3

Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: а) 162°; б) 157°?
Если да, то укажите количество его сторон.
[Ответ: а) да, это 20-угольник; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 27 (Геометрия, 8 класс). Площади многоугольников (9 типов заданий)

27.1

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 28]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции на рисунках будут треугольники, в которых высоту и основание можно посчитать по клеткам, причём высота проходит внутри треугольника.

27.2

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 21]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции на рисунках будут тупоугольные треугольники, в которых высоту и основание можно посчитать по клеткам, причём высота находится вне треугольника.

27.3

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 12.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции на рисунках будут прямоугольные треугольники.

27.4

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 54]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

27.5

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

27.6

Найдите площадь ромба, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 16]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

27.7

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 13]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции будут находиться треугольники, стороны которых невозможно посчитать по клеткам. Площади этих треугольников можно посчитать по формуле Пика, или же "дополнив" эти треугольники до прямоугольника и найдя разность между его площадью и площадью незаполненной области внутри него.

27.8

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 7]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции будут находиться треугольники, стороны которых невозможно посчитать по клеткам. При попытке "дополнить" их до прямоугольника окажется, что одна из вершин не попадает на границу этого прямоугольника.

27.9

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 36]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции будут находиться четырехугольники, которые можно "разрезать" одной из диагоналей на два треугольника, основания и высоты которых легко посчитать по клеткам.

✍

Тема 28 Текстовые задачи на площади фигур (29 типов заданий)

Площадь прямоугольника

28.1

Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше другой, а его площадь равна 120 см². Найдите стороны прямоугольника.
[Ответ: 10 см и 12 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.2

Одна из сторон прямоугольника относится к другой как 2:3, а его площадь равна 54 см². Найдите стороны прямоугольника.
[Ответ: 6 см и 9 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.3

Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 49 и 4 см.
[Ответ: 14 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.4

Квадрат со стороной 10 см и некоторый прямоугольник равновелики. Длина прямоугольника равна 20 см. Найдите: а) его ширину; б) его диагональ.
[Ответ: 5 см; 5\sqrt{17} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.5

Стороны квадратов относятся как 21:22. Найдите отношение площадей этих квадратов.
[Ответ: 441:484]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.6

Площади квадратов относятся как 169:289. Найдите отношение сторон квадратов.
[Ответ: 13:17]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.7

В прямоугольнике XPAN проведена биссектриса угла P. Эта биссектриса пересекает диагональ XA в точке B, причём XB:BA = 1:12. Найдите площадь прямоугольника, если площадь треугольника XPB равна 15 см.
[Ответ: 390]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Площадь параллелограмма

28.8

Сторона параллелограмма равна 5 см, а высота, проведенная к ней, равна 30 см. Найдите площадь параллелограмма.
[Ответ: 150 см²]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.9

Площадь параллелограмма равна 224 см², а одна из сторон 8 см. Найдите высоту, проведенную к этой стороне.
[Ответ: 28 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.10

В параллелограмме NRSE точка K - середина стороны SE. Найдите площадь трапеции NRKE, если площадь параллелограмма равна 76.
[Ответ: 57]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.11

В параллелограмме сторона равна 126 см, а высота, проведенная к ней, равна 6 см. Другая сторона параллелограмма равна 54 см. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
[Ответ: 14 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.12

Одна из диагоналей параллелограмма перпендикулярна стороне. Найдите его площадь, если стороны равны 51 см и 24 см.
[Ответ: 1080 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.13

Дан параллелограмм EMHB, в котором ∠MBE = 90°, ∠H = 60°. Найдите площадь параллелограмма, если EB = 18.
[Ответ: 324\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.14

Дан параллелограмм FHOZ, в котором HZ ⊥ FZ. Известно, что HZ = 14 см, FO = 50 см. Найдите площадь параллелограмма.
[Ответ: 336 см²]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.15

В параллелограмме соседние стороны равны 6 см и 30 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь параллелограмма.
[Ответ: 90]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.16

Высота ромба равна 54 см, а одна из диагоналей 90 см. Найдите его площадь.
[Ответ: 3037.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Вы можете добавлять в карточку не более одного такого задания.

28.17

Один из углов ромба равен 60°, а сторона равна 17. Найдите площадь ромба.
[Ответ: 144.5\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Площадь треугольника

28.18

Найдите площадь треугольника со стороной 18, если высота, проведенная к ней, равна 17.
[Ответ: 153]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.19

Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 17 и 19 см.
[Ответ: 161.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.20

Найдите сторону треугольника, если его площадь равна 30 см², а высота, проведенная к этой стороне, равна 20 см.
[Ответ: 3 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.21

В треугольнике сторона равна 15 см, а высота, проведенная к ней, равна 14 см. Другая сторона треугольника равна 35. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
[Ответ: 6 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.22

В треугольнике DHT DT = HT = 20 см, DH = 24 см. Найдите площадь треугольника.
[Ответ: 192]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.23

В треугольнике NCA NA = CA = 40 см, AH - высота, равная 32 см. Найдите площадь треугольника.
[Ответ: 768]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.24

В треугольнике ENB с прямым углом B отрезок BD является медианой. Найдите площадь треугольника, если NB = 21 см, BD = 37.5 см.
[Ответ: 756]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.25

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 2 и 72 см. Найдите:
а) эту высоту;
б) катеты треугольника;
в) площадь треугольника.
[Ответ: а) 12 см; б) 2\sqrt{37} см и 12\sqrt{37} см; в) 444 см²]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.26

Дан треугольнике PSH, у которого ∠P = 30°. В нём проведена высота ST. Найдите площадь треугольника, если SH = 6\sqrt{2} см, а HT = 6 см.
[Ответ: 18+18\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.27

Сторона равностороннего треугольника равна 3. Найдите его площадь.
[Ответ: 2.25\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.28

Катеты прямоугольного треугольника равны 14 и 48. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
[Ответ: 13.44]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.29

В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке K. Известно, что AK = 3 см, BK = 10 см. Найдите площадь треугольника.
[Ответ: 30]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 29 (Геометрия, 9 класс). Векторы (10 типов заданий)

Сложение и вычитание векторов на клетчатой бумаге

29.1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки C, B, N и D. Постройте вектор \vec{ C B } + \vec{ N D }.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки B, E, R и T. Постройте вектор \vec{ B E } - \vec{ R T }.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки E, R, N и Z. Постройте вектор 2\vec{ E R } + \vec{ N Z }.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.4

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки B, Z, N и X. Постройте вектор 2\vec{ B Z } - \vec{ N X }.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи на вычисление длин векторов

29.5

На рисунке изображен прямоугольник EZKP. Найдите:
а) \lvert \vec{ E S } + \vec{ Z S } \rvert,
б) \lvert \vec{ E S } - \vec{ Z S } \rvert,
в) \lvert \vec{ E P } - \vec{ E Z } \rvert,
если EZ = 24, ZK = 32.

E

Z

K

P

S

[Ответ: а) 32; б) 24; в) 40]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.6

На рисунке изображен ромб KFPM. Найдите:
а) \lvert \vec{ K F } + \vec{ K M } \rvert,
б) \lvert \vec{ K F } - \vec{ K M } \rvert,
в) \lvert \vec{ K F } - \vec{ K P } \rvert,
если MF = 72, KP = 154.

K

F

P

M

O

[Ответ: а) 154; б) 72; в) 85]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.7

Дан равносторонний треугольник BRO. Найдите:
а) \lvert \vec{ B R } + \vec{ B O } \rvert,
б) \lvert \vec{ B R } - \vec{ B O } \rvert,
если стороны треугольника равны 17\sqrt{3}.
[Ответ: а) 51; б) 17\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.8

В треугольнике TBA TB = 48\sqrt{2}, BA = 42, ∠TBA = 135°. Найдите \lvert \vec{ T B } + \vec{ B A } \rvert.
[Ответ: 102]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.9

Найдите модуль суммы векторов \vec{a} и \vec{b}.

17

15

[Ответ: 8]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.10

Найдите модуль суммы векторов \vec{a} и \vec{b}.

44

60

[Ответ: 30]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 30 (Геометрия, 9 класс). Расстояние между точками, координаты середины отрезка (8 типов заданий)

30.1

Найдите расстояние между точками B(15; -7) и O(3; -16).
[Ответ: 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте в карточку два таких задания (или число, кратное двум): в одном из них расстояние получится целым, а в другом иррациональным.

30.2

Даны три точки: B(3; 11), C(-3; 9) и T(-9; 11). Докажите, что углы B и T треугольника BCT равны.
[Ответ: Две стороны треуг. равны 2\sqrt{10}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.3

Найдите координаты середины отрезка KB, если K (5; 19); B (21; 15).
[Ответ: (13; 17)]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.4

Точка M (6; -1) - середина отрезка NF. Найдите координаты точки F, если N (8; -10).
[Ответ: (4; 8)]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.5

Даны три точки: B(-29; -3), X(-19; -15) и C(-9; -17). Найдите длину медианы CH треугольника BXC.
[Ответ: 17]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.6

Даны точки: E(7; -1), O(3; -9). Найдите расстояние от середины отрезка EO до начала координат.
[Ответ: 5\sqrt{2}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.7

Лежат ли точки K, H, P на одной прямой, если:
а) K (-4; 3), H (-3; 0), P (0; -9);
б) K (-4; 3), H (-3; 2), P (0, -2)?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.8

Расстояние между точками K(-8; 8) и S(x; 12) равно 4\sqrt{2}. Найдите x.
[Ответ: -12 или -4]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 31 (Геометрия, 9 класс). Решение треугольников (2 типа заданий)

31.1

В треугольнике ZFD ZF = 5, FD = 12, ZD = 13.
а) докажите, что треугольник ZFD прямоугольный;
б) найдите cos ∠Z;
в) найдите ∠Z.
[Ответ: б) \frac{5}{13}; в) arccos(\frac{5}{13})]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.2

В треугольнике FZR даны стороны: FZ = 30, ZR = 20, FR = 18.
а) найдите cos ∠R;
б) найдите ∠R;
в) ∠R острый или тупой?
[Ответ: а) -\frac{11}{45}; б) arccos(-\frac{11}{45}); в) тупой]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 32 (Геометрия, 10 класс). Перпендикулярность. Теорема о трех перпендикулярах (9 типов заданий)

Перпендикулярность прямой и плоскости

32.1

Из точки F к плоскости \alpha проведены перпендикуляр FS и наклонные FB и FE. Известно, что FB = 34, BS = 7\sqrt{19}, SE = 12\sqrt{6}. Найдите расстояние от точки F до плоскости и наклонную FE.
[Ответ: 15; 33]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.2

Из точки P к плоскости \alpha проведены перпендикуляр PA и наклонные PB и PR. Известно, что PB = 24, BA = 4\sqrt{11}, cos ∠APR = 0.8. Найдите расстояние от точки P до плоскости, наклонную PR и её проекцию AR.
[Ответ: 20; 25; 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.3

Проекции двух наклонных, проведенных из точки P к некоторой плоскости, равны 10\sqrt{5} и 15, а сумма длин этих наклонных равна 55. Найдите расстояние от точки P до плоскости.
[Ответ: 20]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.4

Точка K находится на расстоянии 7\sqrt{5} от каждой вершины треугольника COF. Найдите расстояние от точки K до плоскости треугольника, если OF = 17, sin ∠C = \frac{17}{28}.
[Ответ: 7]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Теорема о трех перпендикулярах

32.5

Квадрат NRMP лежит в плоскости \alpha, TM - перпендикуляр к этой плоскости. Докажите, что TH ⊥ RP (где H - точка пересечения диагоналей квадрата).
[Ответ: TM - перпендикуляр, TH - наклонная, HM - проекция. RP \in \alpha и RP ⊥ HM (диаг. квадрата) => RP ⊥ TH (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.6

PKSN - ромб, лежащий в плоскости \alpha, FS - перпендикуляр к этой плоскости. Докажите, что FP ⊥ KN.
[Ответ: FS - перпендикуляр, FP - наклонная, PS - проекция. KN \in \alpha и KN ⊥ PS (диаг. ромба) => KN ⊥ FP (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.7

Треугольник CNB равнобедренный, CN = CB. Из точки C восставлен перпендикуляр CH к плоскости треугольника. Z - середина стороны NB. Докажите, что HZ ⊥ NB.
[Ответ: HC - перпендикуляр, HZ - наклонная, CZ - проекция. NB \in \alpha и NB ⊥ CZ (медиана р/б треуг. явл. высотой) => HZ ⊥ NB (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.8

Из центра D окружности, лежащей в плоскости \alpha, восставлен перпендикуляр DC к этой плоскости. Прямая y принадлежит плоскости \alpha и касается окружности в точке K. Докажите, что CK ⊥ y.
[Ответ: DC - перпендикуляр, CK - наклонная, DK - проекция. y \in \alpha и y ⊥ DK (радиус в точке касания) => y ⊥ CK (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

32.9

Точка M находится на одинаковом расстоянии от сторон правильного треугольника KZE. Найдите расстояние от точки M до стороны KZ, если расстояние от этой точки до плоскости треугольника равно 6 см, KZ = 6\sqrt{3} см.
[Ответ: 3\sqrt{5}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]