Конструктор индивидуальных заданий, самостоятельных и контрольных работ по математике

Важно! Для оповещения о новостях Конструктора и для скачивания методических материалов создан чат ВК: присоединиться

✍

Тема 1 (Геометрия, 7 класс). Точка, прямая, луч, отрезок, угол (16 типов заданий)

1.1

Начертите прямую y и отметьте на ней точки R, M, A и T так, чтобы точка A лежала между точками R и M, а точка T - между точками M и A.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.2

Начертите прямую b и отметьте на ней точки P, S и A так, чтобы выполнялось равенство PA = PS − SA.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.3

На отрезке TE взята точка A. Найдите расстояние между точками T и E, если TA = 2.7 см, AE = 69 мм. Ответ дайте в миллиметрах.
[Ответ: 96]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.4

Точка N - середина отрезка ZD, точка K - середина отрезка ND, KZ = 30 см. Найдите длины отрезков ZN, KD и ZD.
[Ответ: 20 см; 10 см; 40 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.5

На отрезке CA длиной 114 см взята точка S. Найдите длины отрезков CS и AS, если длина отрезка CS на 20 см меньше длины отрезка AS.
[Ответ: 47 см и 67 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.6

На отрезке HK длиной 104 см взята точка O. Найдите длины отрезков HO и KO, если длина отрезка HO в 3 раза меньше длины отрезка KO.
[Ответ: 26 см и 78 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.7

На отрезке XD длиной 52 см взята точка N. Найдите длины отрезков XN и DN, если XN:DN = 5:21.
[Ответ: 10 см и 42 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.8

На прямой f взяты точки B, D, N так, что BD = 23 см, BN = 78 см. Чему может быть равна длина отрезка DN?
[Ответ: 101 см или 55 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.9

На отрезке BS взята точка D так, что BD = 8 см, DS = 10 см. Найдите расстояние между серединами отрезков BD и DS.
[Ответ: 9]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Луч и угол

1.10

Луч TC делит угол XTZ на два угла. Найдите угол XTZ, если \angle XTC = 143^{\circ}, \angle ZTC = 15^{\circ}.
[Ответ: 158^{\circ}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.11

Внутри угла ZKR, равного 161^{\circ}, проведены два луча KM и KS так, что \angle ZKS = 128^{\circ}, \angle MKR = 135^{\circ}. Найдите угол MKS.
[Ответ: 102^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.12

Внутри угла SMT, равного 24^{\circ}, проведен луч MN так, что угол SMN на 20^{\circ} больше угла TMN. Найдите углы SMN и TMN.
[Ответ: 22^o и 2^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.13

Из вершины R развернутого угла ZRB проведены лучи RT и RK так, что RK - биссектриса угла TRB, и \angle ZRK = 120^{\circ}. Найдите \angle BRT.
[Ответ: 120^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.14

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов, если сейчас 10:00?
[Ответ: 60^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.15

Угол ZXM равен 29^{\circ}, угол MXN равен 38^{\circ}. Чему может быть равен угол ZXN?
[Ответ: 67^o или 9^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

1.16

Из вершины угла TSD величиной 46^{\circ} проведен луч SC. Найдите угол между биссектрисами углов TSC и CSD.
[Ответ: 23^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 2 (Геометрия, 7 класс). Смежные и вертикальные углы (11 типов заданий)

2.1

Могут ли два смежных угла быть равными:
а) 69^{\circ} и 111^{\circ}?
б) 37^{\circ} и 46^{\circ}?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.2

Найдите угол, смежный с углом 14^{\circ}.
[Ответ: 166^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.3

Найдите смежные углы, если один из них на 52^{\circ} меньше другого.
[Ответ: 64^o; 116^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.4

Найдите смежные углы, если один из них в 14 раз больше другого.
[Ответ: 12^o и 168^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.5

Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 13:17.
[Ответ: 78^o и 102^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.6

В результате пересечения двух прямых образовались углы, сумма двух из которых равна 156^{\circ}. Найдите все образовавшиеся углы.
[Ответ: 78^o, 102^o, 78^o, 102^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.7

В результате пересечения двух прямых образовались углы, сумма трех из которых равна 212^{\circ}. Найдите все образовавшиеся углы.
[Ответ: 148^o, 32^o, 148^o, 32^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.8

В результате пересечения двух прямых образовались углы, разность двух из которых равна 96^{\circ}. Найдите все образовавшиеся углы.
[Ответ: 138^o; 42^o; 138^o; 42^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.9

Углы PRB и BRN смежные, \angle PRB = 121^{\circ}, луч RA проходит внутри угла PRB, \angle PRA = 74^{\circ}. Найдите угол между биссектрисами углов ARB и BRN.
[Ответ: 53^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.10

Луч ND - биссектриса угла FNM, смежного с углом MNO. Найдите углы FNM и MNO, если угол MNO на 66^{\circ} больше угла MND.
[Ответ: 76^o; 104^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

2.11

а) Сопоставьте буквенные обозначения углов с их градусными мерами (для выполнения задания пользоваться транспортиром нет необходимости);
б) выпишите все пары смежных углов на рисунке.

Углы:
А) ∠TNE
Б) ∠XNK
В) ∠KNE
Г) ∠KNT
Д) ∠XNE
Е) ∠TNX

Градусные меры:
1) 90^o
2) 15^o
3) 75^o
4) 105^o
5) 180^o

В таблицу занесите номера градусных мер, соответствующие буквам

Буквы (углы):	А	Б	В	Г	Д	Е
Цифры от 1 до 5:

[Ответ: а) 145132; б) ∠KNT и ∠ENT, а также ∠KNX и ∠ENX]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 3 (Геометрия, 7 класс). Треугольники, их виды. Медиана, биссектриса, высота треугольника (8 типов заданий)

3.1

Нарисуйте произвольный треугольник FCO. Обозначьте буквами и запишите:
а) сторону, лежащую напротив угла C;
б) угол между сторонами FO и CO;
в) стороны, прилежащие к углу O;
г) углы, прилежащие к стороне FC.
[Ответ: а) FO; б) \angleFOC; в) FO, CO, г) \angleFCO, \angleCFO]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.2

Нарисуйте произвольный треугольник XEO. Запишите все возможные буквенные обозначения этого треугольника.
[Ответ: XEO, XOE, EXO, EOX, OXE, OEX]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.3

Нарисуйте произвольный треугольник RCK. Запишите буквенные обозначения всех его сторон и углов (при этом каждый угол обозначайте тремя буквами).
[Ответ: стороны: RC, CK, RK, углы: \angleRCK, \angleCRK, \angleRKC]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.4

Одна из сторон треугольника на 21 см меньше другой и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 181 см.
[Ответ: 40 см; 61 см; 80 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.5

Стороны треугольника относятся как 3:11:11, а его периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: 6 см, 22 см, 22 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Различных видов условия: 3 (если Вы добавите в карточки до 3 этих заданий, у каждого ученика будет до 3 задач с немного отличающимся условием).

3.6

В треугольнике STH проведена медиана TX. Периметр треугольника STX равен 44 см, периметр треугольника XTH равен 47 см. Найдите периметр треугольника STH, если TX = 14 см.
[Ответ: 63]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.7

Нарисуйте:

1) равнобедренный прямоугольный треугольник OCB с прямым углом B;
2) прямоугольный разносторонний треугольник TXP с прямым углом P;
3) разносторонний остроугольный треугольник EZR так, чтобы сторона ER была наименьшей;
4) равнобедренный тупоугольный треугольник DNK с тупым углом N.

Проведите и сделайте соответствующие отметки на рисунке:

а) в треугольнике DNK высоту к стороне NK;
б) в треугольнике TXP биссектрису из вершины X;
в) в треугольнике DNK высоту из вершины N;
г) в треугольнике EZR медиану к стороне ER.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

3.8

В треугольнике NOX известно, что NX = 150, OM — медиана, OM = 63. Найдите NM.
[Ответ: 75]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 4 (Геометрия, 7 класс). Первый, второй и третий признаки равенства треугольников (14 типов заданий)

Подготовительные задачи. Введение в тему

4.1

На рисунке ниже изображены равные треугольники AEP и ODT. Запишите все возможные обозначения равенства этих треугольников.

[Ответ: ΔAEP = ΔODT; ΔAPE = ΔOTD; ΔEAP = ΔDOT; ΔEPA = ΔDTO; ΔPAE = ΔTOD; ΔPEA = ΔTDO]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Простейшие задачи по готовым рисункам

4.2

На рисунке ниже изображены треугольники DXZ и OSA. Известно, что DZ=OA, XZ=SA, и ∠XZD = ∠SAO.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) докажите, что ΔDXZ = ΔOSA.

[Ответ: 1) DZ=OA (по условию),
2)XZ=SA (по условию),
3) ∠XZD = ∠SAO (по условию)
Значит, ΔDXZ = ΔOSA по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.3

На рисунке ниже изображены треугольники ZOS и AKD. Известно, что ZS=AD, ∠OZS = ∠KAD, ∠OSZ = ∠KDA.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) докажите, что ΔZOS = ΔAKD.

[Ответ: 1) ZS=AD (по условию),
2) ∠OZS = ∠KAD (по условию),
3) ∠OSZ = ∠KDA (по условию).
Значит, ΔZOS = ΔAKD по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.4

На рисунке ниже изображены треугольники XAP и MFO. Известно, что XA=MF, AP=FO, XP=MO.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) докажите, что ΔXAP = ΔMFO.

[Ответ: 1) XA=MF (по условию),
2) AP=FO (по условию),
3) XP=MO (по условию).
Значит, ΔXAP = ΔMFO по III признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи на доказательство по готовым рисункам

4.5

На рисунке ниже KM=PH, MP=KH.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) KM=PH (по условию),
2) MP=KH (по условию),
3) MH - общая.
Значит, ΔKMH = ΔPHM по III признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.6

На рисунке ниже BT=BP, ∠OTB = ∠BPR.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) BT=BP (по условию),
2) ∠OTB = ∠BPR (по условию),
3) ∠OBT = ∠RBP как вертикальные.
Значит, ΔOTB = ΔRPB по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.7

На рисунке ниже ∠TOM = ∠OMH, ∠TMO = ∠MOH.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) ∠TOM = ∠OMH (по условию),
2) ∠TMO = ∠MOH (по условию),
3) OM - общая.
Значит, ΔOTM = ΔMHO по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.8

На рисунке ниже SD=SK, ∠KSB = ∠DSB.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) SD=SK (по условию),
2) ∠KSB = ∠DSB (по условию),
3) SB - общая.
Значит, ΔSKB = ΔSDB по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.9

На рисунке ниже XM=MN, DM = MK.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) XM=MN (по условию),
2) DM = MK (по условию),
3) ∠XMD = ∠NMK как вертикальные.
Значит, ΔXDM = ΔNKM по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.10

На рисунке ниже ∠DMK = ∠PMK, ∠MKP = 90^o.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке, а также указанный прямой угол;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) ∠DMK = ∠PMK (по условию),
2) ∠MKD = 180^o − ∠MKP = 90^o (смежные) => ∠MKD = ∠MKP,
3) KM - общая.
Значит, ΔKDM = ΔKPM по II признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.11

На рисунке ниже OX=RD, ∠OXD = ∠RDX.
а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке;
б) какие треугольники на рисунке предположительно равны? Докажите их равенство.

[Ответ: 1) OX=RD (по условию),
2) ∠OXD = ∠RDX (по условию),
3) XD - общая.
Значит, ΔOXD = ΔRDX по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи без готовых рисунков

4.12

В треугольнике DPF к стороне PF проведен срединный перпендикуляр, который пересекает сторону DP в точке O. Найдите длину отрезка DO, если DP = 32 см, FO = 25 см.
[Ответ: 7 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.13

Отрезки NA и PZ пересекаются в точке O, и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что \angle ONP = \angle OAZ.
[Ответ: Указание. Докажите, что ΔONP = ΔOAZ.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

4.14

Дан четырехугольник BMXF, в котором BM=XF, MX=BF. Докажите, что ∠MBF=∠MXF.
[Ответ: Указание. Проведите отрезок MF и докажите равенство получившихся треугольников]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 5 (Геометрия, 7 класс). Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки (13 типов заданий)

Простые задачи на нахождение элементов равнобедренного треугольника

5.1

Основание равнобедренного треугольника равно 76 см, а длина боковой стороны 52 см. Найдите периметр треугольника.
[Ответ: 180]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.2

Периметр равнобедренного треугольника равен 206 см, а длина боковой стороны 53 см. Найдите основание треугольника.
[Ответ: 100]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.3

Периметр равнобедренного треугольника равен 125 см, а основание на 8 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: 47 см, 39 см, 39 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.4

Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а основание относится к боковой стороне как 1:3. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: 4 см, 12 см, 12 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.5

В равнобедренном треугольнике CDX с основанием CX проведена медиана DN. Угол CDN равен 57^{\circ}. Найдите \angle CDX и \angle XND.
[Ответ: 114^o и 90^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.6

Две стороны равнобедренного треугольника равны 15 см и 5 см. Чему может быть равна третья сторона?
[Ответ: 15 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество этих заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные варианты, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой.

Задачи на доказательство равенства треугольников

5.7

В равнобедренном треугольнике DRE с основанием DR на стороне DE взята точка N, а на стороне RE - точка H так, что EN = EH. Докажите, что ΔDHE = ΔRNE.
[Ответ: 1) DE=RE (по условию),
2) EN=EH (по условию),
3) ∠DER - общий.
Значит, ΔDHE = ΔRNE по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.8

В равнобедренном треугольнике CBO с основанием CB на стороне CO взята точка K, а на стороне BO - точка N так, что OK = ON. Докажите, что ΔCNB = ΔBKC.
[Ответ: 1) CK=BN, т.к. OK=ON, и ΔCBO р/б,
2) CB - общая,
3) ∠KCB = ∠NBC как равные углы при основании р/б ΔCBO.
Значит, ΔCNB = ΔBKC по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.9

В равнобедренном треугольнике DCP с основанием DP проведена медиана CT, на которой взята точка K. Докажите, что ΔDKC = ΔPKC.
[Ответ: 1) DC=CP по условию,
2) CK - общая,
3) ∠DCK = ∠PCK, т.к. медиана р/б ΔDCP является также биссектрисой.
Значит, ΔDKC = ΔPKC по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.10

В равнобедренном треугольнике KNF с основанием KF проведена медиана NP, на которой взята точка A. Докажите, что ΔKAP = ΔFAP.
[Ответ: 1) KP=PF по условию (NP - медиана),
2) PA - общая,
3) ∠APK = ∠APF = 90^o, т.к. медиана р/б ΔKNF является также высотой.
Значит, ΔKAP = ΔFAP по I признаку.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Вычислительные задачи на применение свойств и признаков равнобедренного треугольника

5.11

В треугольнике NOA с основанием NA медиана OX перпендикулярна основанию, а \angle NOX = 69^{\circ}. Найдите углы треугольника NOA.
[Ответ: ∠O=138^o; ∠N=21^o; ∠A=21^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.12

Биссектриса HB является высотой треугольника THZ, а периметр треугольника THB равен 41 см. Найдите периметр треугольника THZ, если HB = 17 см.
[Ответ: 48]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

5.13

В треугольнике CMS проведены медиана MO и высота MF. Известно, что CS = 60 и MS = MO. Найдите CF.
[Ответ: 45]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 6 (Геометрия, 7 класс). Параллельность прямых (10 типов заданий)

Простейшие задания по готовым рисункам

6.1

На рисунке ниже изображены две прямые FA и HT, которые пересекаются секущей EO в точках M и P соответственно.
Сопоставьте буквенные обозначения углов и их названия.

Углы:
А) ∠HPO и ∠TPM
Б) ∠HPM и ∠PMA
В) ∠AMP и ∠TPM
Г) ∠HPM и ∠HPO
Д) ∠HPM и ∠FME

Названия:
1) смежные
2) вертикальные
3) накрест лежащие
4) односторонние
5) соответственные

В таблицу занесите номера названий углов, соответствующие буквам

Буквы (углы):	А	Б	В	Г	Д
Цифры:

[Ответ: 23415]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.2

На рисунке ниже изображены треугольник RBZ и прямая ME, которая пересекает стороны RB и RZ в точках S и C соответственно.
Сопоставьте буквенные обозначения углов и их названия.

Углы:
А) ∠SBZ и ∠CSB
Б) ∠BZC и ∠ECZ
В) ∠RCS и ∠BZC
Г) ∠MSR и ∠CSB
Д) ∠MSR и ∠CSR

Названия:
1) смежные
2) вертикальные
3) накрест лежащие
4) односторонние
5) соответственные

В таблицу занесите номера названий углов, соответствующие буквам

Буквы (углы):	А	Б	В	Г	Д
Цифры:

[Ответ: 43521]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.3

На каких рисунках прямые a и b параллельны?

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

[Ответ: 2468]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи без готовых рисунков

6.4

Сумма накрест лежащих углов равна 232^o. Найдите эти углы.
[Ответ: 116^o и 116^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.5

Разность односторонних углов равна 120^o. Найдите эти углы.
[Ответ: 150^o и 30^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.6

Один из односторонних углов в 17 раз больше другого. Найдите эти углы.
[Ответ: 10^o и 170^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.7

Прямые h и a параллельны, их пересекает секущая y. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если один из них равен 173^o.
[Ответ: 173^o, 7^o, 173^o, 7^o, 173^o, 7^o, 173^o, 7^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.8

Прямые k и a параллельны, их пересекает секущая h. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если разность двух их них равна 126^o.
[Ответ: 153^o; 27^o; 153^o; 27^o; 153^o; 27^o; 153^o; 27^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.9

Прямые c и d параллельны, их пересекает секущая y. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если сумма двух из них равна 70^o.
[Ответ: 35^o, 145^o, 35^o, 145^o, 35^o, 145^o, 35^o, 145^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

6.10

Прямые m и d параллельны, их пересекает секущая t. Найдите все углы, образованные при пересечении прямых, если градусные меры двух из них относятся как 11:19.
[Ответ: 66^o; 114^o; 66^o; 114^o; 66^o; 114^o; 66^o; 114^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 7 (Геометрия, 7 класс). Сумма углов треугольника. Внешний угол. Неравенство треугольника (26 типов заданий)

7.1

В треугольнике два угла равны 24^{\circ} и 60^{\circ}. Найдите третий угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 96^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.2

Найдите углы треугольника, если отношение их градусных мер равно 1:2:2.
[Ответ: 36^o; 72^o; 72^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.3

В равнобедренном треугольнике PAN с основанием PN угол P равен 6^{\circ}. Найдите остальные углы треугольника.
[Ответ: ∠N=6^o; ∠A=168^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.4

В равнобедренном треугольнике OCZ с основанием OZ угол C равен 146^{\circ}. Найдите остальные углы треугольника.
[Ответ: ∠O=17^o; ∠Z=17^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.5

Один из углов равнобедренного треугольника равен 108^o. Чему могут быть равны остальные углы?
[Ответ: 36^o; 36^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество этих заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные варианты, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой.

7.6

В равнобедренном треугольнике CTA с основанием CA углы C и T относятся как 5:2. Найдите углы треугольника.
[Ответ: ∠C=75^o; ∠T=30^o; ∠A=75^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.7

В равнобедренном треугольнике DPC с основанием PC угол D на 135 градусов больше угла P. Найдите углы треугольника.
[Ответ: ∠D=150^o; ∠P=15^o; ∠C=15^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.8

Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащего основанию, равен 8^o. Найдите внутренние углы треугольника.
[Ответ: 172^o, 4^o, 4^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.9

Внешний угол при вершине R треугольника EBR равен 30^o, а внутренний угол E в 9 раз меньше внутреннего угла B. Найдите внутренние углы треугольника.
[Ответ: ∠E=3^o; ∠B=27^o; ∠R=150^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.10

Внешний угол при вершине O треугольника EXO равен 77^o, а внутренний угол E на 5^o больше внутреннего угла X. Найдите внутренние углы треугольника.
[Ответ: ∠E=41^o; ∠X=36^o; ∠O=103^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.11

Сторона ES треугольника ESX равна 41, сторона SX равна 34, сторона EX равна 16. Какой из углов треугольника - E, S или X - наибольший, а какой наименьший?
[Ответ: ∠X наибольший, ∠S наименьший]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.12

Могут ли стороны треугольника быть равными:
а) 38 см, 16 см, 17 см;
б) 11 см, 43 см, 33 см?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.13

Внешний угол при вершине B равнобедренного треугольника CKB равен 36^{\circ}. Найдите внутренние углы треугольника CKB.
[Ответ: ∠C=18^o; ∠K=18^o; ∠B=144^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.14

Внешний угол при вершине X равнобедренного треугольника BSX равен 108^{\circ}. Чему могут быть равны внутренние углы треугольника BSX?
[Ответ: ∠B=36^o; ∠S=72^o; ∠X=72^o или ∠B=54^o; ∠S=54^o; ∠X=72^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.15

Периметр треугольника равен 86 см. Может ли одна из его сторон быть равной: а) 7 см; б) 50 см?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.16

Стороны NT и NB треугольника NTB равны 6 и 20 см. Может ли его периметр быть равным: a) 48 см; б) 52 см; в) 54 см?
[Ответ: a) да; б) нет; в) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.17

Боковая сторона MZ равнобедренного треугольника MPZ относится к основанию как 4:11, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: Задача не имеет решения, такого треугольника не существует]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.18

Стороны треугольника PRF относятся к основанию как 5:9:22, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны треугольника.
[Ответ: Задача не имеет решения, такого треугольника не существует]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.19

В равнобедренном треугольнике OPF с основанием PF провели биссектрису PC. Оказалось, что угол OCP равен 99^{\circ}. Найдите угол POF.
[Ответ: 48^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.20

Точка H принадлежит стороне CP треугольника CPB, ∠HBC = 7^o, ∠HBP = 32^o, PH=PB. Найдите углы треугольника CPB.
[Ответ: ∠C=25^o; ∠P=116^o; ∠B=39^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.21

Отрезок TZ - биссектриса треугольника TMH, в котором ∠MTH=172^o. Через точку H проведена прямая, параллельная TZ, и эта прямая пересекает прямую TM в точке F. Найдите углы треугольника FTH.
[Ответ: ∠F=86^o; ∠T=8^o; ∠H=86^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.22

В равнобедренном треугольнике ONK с основанием OK на стороне NK отметили точку H. Оказалось, что NH = OH = OK. Докажите, что OH - биссектриса треугольника ONK.
[Ответ: Указание. Примите ∠OKH за x, и выразите через x углы HOK и HON]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.23

В треугольнике XRD проведена биссектриса XS, угол XSD равен 105°, угол XRD равен 89°. Найдите угол XDR. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 59]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.24

В треугольнике BPK PM — медиана и PT – высота. Известно, что BK = 32, TK = 8 и ∠BKP = 24°. Найдите угол BMP. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 156]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.25

В остроугольном треугольнике MCP проведена высота CR, ∠CMP=21°. Найдите угол MCR. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 69]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

7.26

В треугольнике DSC угол C равен 174°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 6]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 8 (Геометрия, 7 класс). Прямоугольные треугольники (7 типов заданий)

Нахождение элементов прямоугольного треугольника

8.1

На рисунке изображён прямоугольный треугольник SAF с прямым углом A. Отметьте значком указанный прямой угол и укажите:

a) катеты треугольника;
б) гипотенузу треугольника;
в) катет, прилежащий к углу S;
г) катет, противолежащий углу S;
д) меньший катет;
е) угол, лежащий напротив большего катета.

[Ответ: а) SA, FA; б) SF в) AS г) AF д) AS е) ∠ASF]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.2

Один из острых углов прямоугольного треугольника в 89 раз больше другого. Найдите углы треугольника.
[Ответ: 1^o, 89^o, 90^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.3

Один из острых углов прямоугольного треугольника на 8^{\circ} больше другого. Найдите углы треугольника.
[Ответ: 49^o; 41^o; 90^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.4

Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 13:77. Найдите эти углы.
[Ответ: 13^o и 77^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Про катет, противолежащий углу в 30 градусов

8.5

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 48, а один из углов равен 60^{\circ}.
[Ответ: 24]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.6

Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 9. Найдите гипотенузу треугольника.
[Ответ: 6]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

8.7

Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 6. Найдите гипотенузу треугольника.
[Ответ: 12]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 10 (Геометрия, 8 класс). Четырехугольники (11 типов заданий)

10.1

На рисунке изображён четырехугольник DBCP. Укажите:

а) вершины четырехугольника;
б) стороны четырехугольника;
в) углы четырехугольника
г) соседние вершины;
д) противолежащие вершины;
е) соседние стороны;
ж) противолежащие стороны;
з) соседние углы;
и) противолежащие углы.

[Ответ: а) D, B, C, P; б) DB, BC, CP, DP; в) ∠D, ∠B, ∠C, ∠P ; г) D и B; B и C; C и P; D и P; д) D и C; B и P; е) DB и BC; BC и CP; CP и DP; DB и DP; ж) DB и CP; BC и DP; з) ∠D и ∠B; ∠B и ∠C; ∠C и ∠P; ∠D и ∠P; и) ∠D и ∠C; ∠B и ∠P.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.2

Три угла выпуклого четырехугольника равны 50^{\circ}, 38^{\circ}, 157^{\circ}. Чему равен четвертый угол?
[Ответ: 115^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.3

Углы четырехугольника относятся как 1:1:3:4. Найдите эти углы.
[Ответ: 40^o; 40^o; 120^o; 160^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.4

Один из углов четырехугольника в 11 раз меньше другого, в 13 раз меньше третьего, а четвертый равен 110^{\circ}. Найдите неизвестные углы четырехугольника.
[Ответ: 10^o; 110^o; 130^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.5

Одна из сторон четырехугольника в 14 раз меньше другой и в 14 раз меньше третьей. Четвертая сторона равна 21 см, а периметр равен 137 см. Найдите неизвестные стороны четырехугольника.
[Ответ: 4 см, 56 см, 56 см, 21 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.6

В четырехугольнике FNHB FN = FB и HN = HB, ∠F=154^o, ∠H=124^o. Найдите остальные углы четырехугольника.
[Ответ: ∠N = ∠B = 41^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.7

Диагональ NE четырехугольника NBEF образует со сторонами NB и NF равные углы. Эта же диагональ образует со сторонами BE и EF равные углы. Найдите периметр четырехугольника, если NB=9 см, EF=42 см.
[Ответ: 102 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.8

В треугольнике PSE проведены биссектрисы PH и SM. Точка X является точкой их пересечения. Найдите все углы четырехугольника MXHE, если ∠P = 166^o, ∠S = 6^o.
[Ответ: ∠M=169^o; ∠X=94^o; ∠H=89^o; ∠E=8^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.9

В треугольнике CTE проведены высоты CA и TB. Точка D является точкой их пересечения. Найдите все углы четырехугольника BDAE, если ∠C = 78^o, ∠T = 34^o.
[Ответ: ∠B=90^o; ∠D=112^o; ∠A=90^o; ∠E=68^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.10

Периметр четырехугольника равен 80 см. В нём провели диагональ. Оказалось, что эта диагональ разбила четырехугольник на два треугольника с периметрами 62 см и 72 см. Чему равна проведенная диагональ?
[Ответ: 27 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

10.11

Могут ли стороны четырехугольника быть равными:
а) 13 см, 45 см, 4 см, 4 см;
б) 40 см, 28 см, 14 см, 22 см?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 11 (Геометрия, 8 класс). Параллелограмм (26 типов заданий)

11.1

Периметр параллелограмма равен 126 см. Найдите его стороны, если одна из них на 37 см больше другой.
[Ответ: 50 см и 13 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.2

Периметр параллелограмма равен 116 см. Найдите его стороны, если одна из них больше другой в 28 раз.
[Ответ: 2 см и 56 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.3

Периметр параллелограмма равен 176 см. Найдите его стороны, если они относятся как 1:3.
[Ответ: 22 см и 66 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.4

Дан параллелограмм CDFT, в котором N - точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника FNT, если CD = 17 см, CF = 28 см, DT = 54 см.
[Ответ: 58 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.5

На стороне NP треугольника ENP взята точка K. Через эту точку проведены две прямые: одна из них параллельна стороне EP, и пересекает EN в точке T, а другая параллельна EN, и пересекает EP в точке D. Найдите углы четырехугольника ETKD, если ∠N=82^o, ∠P=90^o.
[Ответ: ∠E=8^o; ∠T=172^o; ∠K=8^o; ∠D=172^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.6

Дан параллелограмм KMCH такой, что ∠KMH = 26^o, ∠KHM = 54^o. Найдите углы параллелограмма KMCH.
[Ответ: ∠K=100^o; ∠M=80^o; ∠C=100^o; ∠H=80^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.7

Сумма двух углов параллелограмма равна 302°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 29]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.8

Один угол параллелограмма меньше другого на 34^o. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 107]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.9

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 7^o и 68^o. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 105]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.10

Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 7:38. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 152]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.11

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1 : 14, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 96.
[Ответ: 45]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.12

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 59. Найдите его большую сторону.
[Ответ: 118]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.13

Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 50^o. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 65]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.14

Один угол параллелограмма в 19 раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 9]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.15

В параллелограмме PCFO проведена диагональ PF. Угол OPF равен 34°, а угол FPC равен 109°. Найдите меньший угол параллелограмма PCFO. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 37]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.16

На продолжении стороны XA параллелограмма XBSA за точкой A отмечена точка C так, что AS = AC. Найдите меньший угол параллелограмма XBSA, если ∠ACS = 32°. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 64]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.17

В параллелограмме PZXM диагональ PX в 2 раза больше стороны PZ и ∠PXM=142^o. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 19]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.18

Один из углов параллелограмма равен 68°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 112]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.19

Диагонали XE и AS параллелограмма XAES пересекаются в точке K, XE = 18, AS = 38, XA = 5. Найдите SK.
[Ответ: 19]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.20

Из вершины X тупого угла параллелограмма SXKF проведена высота XE. SE = 23 см, EF = 22 см, ∠SXE = 30^o. Найдите углы и периметр параллелограмма.
[Ответ: ∠S=60°; ∠X=120°; ∠K=60°; ∠F=120°; P=182 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.21

Из вершины R тупого угла параллелограмма NRXP проведена высота RH, равная 18 см и делящая сторону NP пополам. Найдите NP, если один из углов параллелограмма равен 45^o.
[Ответ: 36 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.22

В параллелограмме TNXS ∠TNX = 132^o, ∠XTS = 24^o. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 192 см.
[Ответ: 48 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.23

Диагональ параллелограмма является его высотой, а один из углов параллелограмма равен 120^o. Найдите периметр параллелограмма, если его меньшая сторона равна 50.
[Ответ: 300]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.24

Биссектриса угла C параллелограмма CMRK пересекает сторону MR в точке P. Найдите периметр параллелограмма, если MP = 34, PR = 7.
[Ответ: 150]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.25

Биссектриса угла C параллелограмма CMOS пересекает сторону MO в точке A, причём MA в 28 раз меньше OA. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 120 см.
[Ответ: 2 см и 58 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

11.26

Медиану NH треугольника NRA продолжили за точку H на расстояние HB, равное ей самой. Докажите, что четырехугольник NRBA - параллелограмм.
[Ответ: Указание. Воспользуйтесь признаком параллелограмма, связанным с пересечением диагоналей]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [

смотреть видеоразбор]

✍

Тема 12 (Геометрия, 8 класс). Прямоугольник (7 типов заданий)

12.1

В прямоугольнике MFAP точка Z является точкой пересечения диагоналей. ∠FMA = 3°. Найдите ∠FZA и ∠AZP.
[Ответ: ∠FZA = 6°; ∠AZP = 174°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.2

В прямоугольнике HZBR точка F является точкой пересечения диагоналей. ∠HRZ = 30°, ZR = 68 см. Найдите углы и периметр треугольника HFZ.
[Ответ: все углы по 60°; P=102 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.3

В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 2 см. Чему равна диагональ прямоугольника?
[Ответ: 4 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.4

На стороне EP прямоугольника REPH отметили её середину - точку M. Оказалось, что MR⊥MH. Меньшая сторона прямоугольника равна 43 см. Найдите его периметр.
[Ответ: 258 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.5

На гипотенузе прямоугольного треугольника с равными катетами отметили точки S и B, а на катетах - точки A и N таким образом, что фигура SBAN оказалась прямоугольником. Найдите стороны этого прямоугольника, если гипотенуза треугольника равна 150 см, а SB:BA = 49:13.
[Ответ: 98 см и 26 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.6

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник OER с катетами, равными 17 см. На катете OR взята точка H, на катете ER - точка K, а на гипотенузе - точка B так, что RHBK - прямоугольник. Найдите периметр этого прямоугольника.
[Ответ: 34 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

12.7

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 96 см. Найдите проведенную к ней медиану.
[Ответ: 48 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 13 (Геометрия, 8 класс). Ромб (18 типов заданий)

13.1

Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 4°. Найдите углы ромба.
[Ответ: 8°; 172°; 8°; 172°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.2

Диагонали ромба FBER пересекаются в точке C. Найдите углы треугольника FCB, если ∠BER = 58°.
[Ответ: ∠F = 29°; ∠B = 61°; ∠C = 90°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.3

В ромбе PTSR проведена высота TX из вершины тупого угла T. Периметр ромба равен 64, а TX = 8. Найдите ∠PTS.
[Ответ: 150°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.4

Найдите углы ромба FDCR, если известно, что угол R в 10 раз раз больше угла CFR.
[Ответ: ∠F = 30°; ∠D = 150°; ∠C = 30°; ∠R = 150°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.5

Сторона ромба образует с его диагоналями углы, которые относятся как 8:7. Найдите углы ромба.
[Ответ: 96^o; 84^o; 96^o; 84^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.6

В ромбе POST отметили точку F - середину стороны PO, и точку R - середину стороны OS. Оказалось, что FT = 11. Чему равна длина отрезка RT? Ответ обоснуйте.
[Ответ: 11, т.к. ΔPFT = ΔSRT по I признаку]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.7

В ромбе KAZR отметили точку H - середину стороны KA, и точку M - середину стороны AZ. Оказалось, что ∠HRA = 3°. Чему равен ∠MRA? Ответ обоснуйте.
[Ответ: 3°, т.к. ΔHAR = ΔMAR по I признаку]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.8

В ромбе MAZB провели высоту AE. Оказалось, что ME = EB.
а) найдите углы ромба;
б) найдите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 55.
[Ответ: а) ∠M = ∠Z = 60°; ∠A = ∠B = 120°; б) 220]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.9

На сторонах MC и MN ромба MCON отметили точки Z и R так, что MZ = MR. Докажите, что треугольник OZR равнобедренный.
[Ответ: Указание. Рассмотрите ΔOCZ и ΔONR, из их равенства следует, что OZ=OR.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.10

На стороне FR треугольника TFR отметили точку C и провели через неё две прямые: одна из них параллельна TR и пересекает сторону TF в точке K, а другая параллельна TF и пересекает сторону TR в точке E. Докажите, что если TC - биссектриса треугольника, то TC⊥KE.
[Ответ: ∠CTR = ∠KCT (накрест леж.), => ΔTKC р/б => TKCE - ромб => TC⊥KE.]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.11

В параллелограмме ETMF проведены биссектрисы углов E и T, которые пересекают стороны TM и EF в точках B и A соответственно.
а) найдите BA, если TB = 28 см;
б) найдите угол TDB, где D - точка пересечения биссектрис.
[Ответ: а) 28 см; б) 90°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.12

PB - биссектриса треугольника RPZ. Через середину PB проведена прямая, перпендикулярная PB и пересекающая стороны RP и PZ в точках E и D соответственно.
а) найдите периметр четырехугольника PEBD, если EP = 80 см;
б) найдите углы этого четырехугольника, если ∠R = 92°, ∠Z = 77°.
[Ответ: а) 320 см; б) ∠P = ∠B = 11°; ∠E = ∠D = 169°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.13

Сторона ромба равна 76, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
[Ответ: 38; 38]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.14

Один из углов ромба равен 98°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 82]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.15

В ромбе RNAT угол RNA равен 158°. Найдите угол RAT. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 11]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.16

Сторона ромба равна 200, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту ромба.
[Ответ: 100]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.17

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 59.
[Ответ: 236]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

13.18

Угол между стороной и диагональю ромба равен 30°. Найдите тупой угол ромба. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 120]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 14 (Геометрия, 8 класс). Квадрат (2 типа заданий)

14.1

EKPN - квадрат, в котором точка Z - точка пересечения диагоналей.
а) найдите углы треугольника EKP;
б) найдите углы треугольника EZK.
[Ответ: а)∠E=45°; ∠K=90°; ∠P=45° б) ∠E=45°; ∠Z=90°; ∠K=45°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

14.2

S - точка стороны CD квадрата FCDO такая, что ∠SFC = 30°. Найдите FC и ∠DFS, если периметр квадрата равен 120 см.
[Ответ: SD = 30 см; ∠DFS = 15°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 15 (Геометрия, 8 класс). Средняя линия треугольника (8 типов заданий)

15.1

В треугольнике FRD FR = 18 см, RD = 36 см, FD = 30 см. Найдите средние линии этого треугольника.
[Ответ: 9 см, 18 см, 15 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.2

Точки F и T являются серединами сторон NB и BP треугольника NBP, сторона NB равна 20, сторона BP равна 44, сторона NP равна 28. Найдите FT.
[Ответ: 14]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.3

X - середина стороны SB, K - середина стороны SF треугольника SBF. Периметр треугольника XSK равен 86 см. Найдите периметр треугольника SBF.
[Ответ: 172 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.4

Средние линии треугольника PNR равны между собой. Найдите углы треугольника PNR и его периметр, если каждая из средних линий равна 18.
[Ответ: ∠P = ∠N = ∠R = 60°; P = 108 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.5

KF - средняя линия треугольника ZSA, параллельная стороне ZA. Найдите ZA и KF, если ZA = KF + 68 см.
[Ответ: ZA = 136 см; KF = 68 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.6

Точки A и D - середины сторон XP и PK треугольника XPK соответственно, PZ - медиана треугольника, T - точка пересечения отрезков PZ и AD.
а) чему равна медиана PZ, если PT = 45 см?
б) найдите XK, если AT = 6 см;
в) найдите углы четырехугольника PAZD, если ∠X=126°, ∠K=51°.
[Ответ: а) 90 см; б) 24 см; в) ∠P = ∠Z = 3°; ∠A = ∠D = 177°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.7

В равнобедренном треугольнике NMT с основанием NT проведена средняя линия, параллельная этому основанию и равная 43 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 212 см.
[Ответ: NM = 63 см; MT = 63 см; NT = 86 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

15.8

Диагонали четырехугольника равны 37 и 32. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
[Ответ: 69]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 16 (Геометрия, 8 класс). Трапеция (41 тип заданий)

Нахождение сторон и углов трапеции

16.1

В равнобокой трапеции большее основание равно 55 см, меньшее - 54 см, а периметр трапеции равен 229 см. Найдите боковую сторону.
[Ответ: 60]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.2

Разность оснований трапеции равна 47 см. Найдите основания, если боковые стороны равны 75 см и 65 см, а периметр составляет 381 см.
[Ответ: 144 см и 97 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.3

Углы при одном из оснований трапеции равны 14° и 21°. Найдите остальные углы трапеции.
[Ответ: 166°; 159°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.4

Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 178°. Найдите эти углы.
[Ответ: 179°; 1°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.5

Два угла, прилежащие к боковой стороне трапеции, относятся как 7:8. Найдите эти углы.
[Ответ: 84^o и 96^o]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.6

Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 100°? Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 140]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.7

Один из углов равнобокой трапеции равен 159°. Найдите остальные её углы.
[Ответ: 159°; 21°; 21°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.8

В равнобокой трапеции ZDKC ∠K − ∠Z = 140°. Найдите углы трапеции.
[Ответ: ∠D = ∠K = 160°; ∠Z = ∠C = 20°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.9

AC - высота равнобокой трапеции DASE, проведенная из вершины тупого угла A. ∠DAC = 47°. Найдите углы трапеции DASE.
[Ответ: ∠A = ∠S = 137°; ∠D = ∠E = 43°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.10

В трапеции PMTO ∠P = ∠O, PM = 67 см. Чему равна сторона TO? Ответ обоснуйте.
[Ответ: TO = 67 см, для доказательства проведите высоты MS и TK и докажите, что ΔPMS = ΔOTK]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.11

FD - высота равнобокой трапеции OFPH, проведенная из вершины тупого угла F. OD = 13 см, DH = 55 см. Найдите основание FP.
[Ответ: 42 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.12

В равнобедренной трапеции основания равны 130 см и 46 см, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.
[Ответ: 344 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции находятся задачи, в которых острый угол трапеции равен 60°.

Различных видов условия: 3 (если Вы добавите в карточки до 3 этих заданий, у каждого ученика будет до 3 задач с немного разным условием).

16.13

В равнобокой трапеции BAZR ∠B = 45°, AZ = 7 см, высота трапеции равна 24 см. Найдите большее основание.
[Ответ: 55 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции находятся задачи, в которых острый угол трапеции равен 45°.

Различных видов условия: 3 (если Вы добавите в карточки до 3 этих заданий, у каждого ученика будет до 3 задач с немного разным условием).

16.14

Диагональ KX равнобокой трапеции KZXR образует с основанием KR угол 12°, а с боковой стороной KZ угол 11°. Найдите углы трапеции.
[Ответ: ∠K = ∠R = 23°; ∠Z = ∠X = 157°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.15

Диагональ SZ равнобокой трапеции SMZA образует с основанием SA угол 4°, а с боковой стороной SM угол 3°. Найдите углы SZM и SZA.
[Ответ: ∠SZM = 4°; ∠SZA = 169°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.16

В прямоугольной трапеции один из углов равен 25°. Найдите остальные углы.
[Ответ: 90°; 90°; 65°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.17

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 36 см, отсекает треугольник, периметр которого равен 54 см. Найдите периметр трапеции.
[Ответ: 126 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.18

В трапеции HCNF через вершину N проведен отрезок, параллельный боковой стороне HC и пересекающий сторону HF в точке E. Найдите углы трапеции, если ∠F = 10°, ∠FNE = 158°.
[Ответ: ∠H = 12°; ∠C = 168°; ∠N = 170°; ∠F = 10°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.19

В трапеции NKZM NK = ZM, ∠NKM = ∠ZKM, периметр трапеции равен 140 см. Найдите её стороны, если основания относятся как 2:11.
[Ответ: NK = NM = ZM = 44 см, KZ = 8 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.20

Стороны трапеции равны 81 см, 81 см, 81 см, 162 см. Найдите углы трапеции.
[Ответ: 60°, 120°, 120°, 60°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.21

В трапеции NAMD (ND||AM) NM⊥MD, ∠ANM = ∠DNM, ∠D = 60°. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 235 см.
[Ответ: NA = AM = MD = 47 см; ND = 94 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.22

В равнобокой трапеции XCBD XC = CB, XB = XD. Найдите ∠CXD.
[Ответ: 72°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи из ОГЭ/ЕГЭ на нахождение сторон и углов трапеции

16.23

Найдите угол XPE равнобедренной трапеции XTEP, если диагональ XE образует с основанием TE и боковой стороной XT углы, равные 19° и 38° соответственно. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 57]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.24

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 246°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 57]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.25

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 3:17. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 27]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.26

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции CDMP, если диагональ CM образует с основанием DM и боковой стороной MP углы, равные 50° и 113° соответственно.
[Ответ: 17]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.27

Найдите угол CBS равнобедренной трапеции CBSD, если диагональ CS образует с основанием CD и боковой стороной SD углы, равные 14° и 97° соответственно. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 111]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.28

Найдите больший угол равнобедренной трапеции BNXK, если диагональ BX образует с основанием BK и боковой стороной BN углы, равные 14° и 39° соответственно. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 127]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.29

Один из углов прямоугольной трапеции равен 38°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 90]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Средняя линия трапеции

16.30

Разность оснований трапеции равна 20 см, а средняя линия 76 см. Найдите основания трапеции.
[Ответ: 66 см и 86 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.31

Средняя линия трапеции равна 23 см, большее основание 43 см. Найдите меньшее основание
[Ответ: 3 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.32

Основания трапеции относятся как 1:6, а средняя линия равна 73.5 см. Найдите основания трапеции.
[Ответ: 21 см и 126 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.33

В трапеции CBME ∠C = 90°, MH - высота, проведенная из вершины тупого угла M, CH = 50 см, HE = 31 см. Найдите среднюю линию трапеции.
[Ответ: 65.5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.34

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 66 см и 60 см. Найдите среднюю линию этой трапеции.
[Ответ: 66 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.35

В трапеции SOBA ∠S = 90°, BD - высота, проведенная из вершины тупого угла B, ZC - средняя линия. Найдите OB и SA, если SD в 6 раз больше DA, а ZC = 6.5 см.
[Ответ: 6 см; 7 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.36

В трапеции MBNC MB = NC = 46 см, MC - большее основание, равное 63 см, ∠M = 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
[Ответ: 40 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.37

В трапеции CEKX CE = KX, CK = 26 см. Известно, что отрезок CK образует с основанием трапеции угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
[Ответ: 13 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи из ОГЭ/ЕГЭ на среднюю линию трапеции

16.38

Основания трапеции равны 24 см и 30 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
[Ответ: 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.39

Основания трапеции равны 30 и 13, а высота равна 31. Найдите среднюю линию этой трапеции.
[Ответ: 21.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.40

Основания трапеции равны 78 и 33. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
[Ответ: 22.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

16.41

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.
[Ответ: 12]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 17 (Геометрия, 8 класс). Окружность, дуги, центральные и вписанные углы (40 типов заданий)

Простейшие задачи на нахождение дуг и углов

17.1

Центральный угол окружности опирается на дугу, составляющую 0.5 окружности. Чему равна градусная мера угла?
[Ответ: 180°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.2

Две точки делят окружность на две дуги, градусная мера одной из которых на 218° меньше градусной меры другой. Сколько градусов составляет большая дуга? Меньшая дуга?
[Ответ: 289° и 71°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.3

Точки E и N делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 13:47. Найдите величину центрального угла, опирающегося на большую из дуг. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 282°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Простые задачи из ОГЭ/ЕГЭ по готовым рисункам на нахождение центральных и вписанных углов

17.4

На рисунке ∠DBO = 60°. Найдите ∠DHO.

[Ответ: 30°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол, нужно найти вписанный. Стороны вписанного угла не пересекают стороны центрального.

17.5

На рисунке ∠XRS = 92°. Найдите ∠XCS.

[Ответ: 46°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол, нужно найти вписанный. Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

17.6

На рисунке ∠TCH = 45°. Найдите ∠TMH.

[Ответ: 90°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, нужно найти центральный. Стороны вписанного угла не пересекают стороны центрального.

17.7

На рисунке ∠TOC = 50°. Найдите ∠TZC.

[Ответ: 100°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, нужно найти центральный. Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

17.8

На рисунке ∠ETD = 82°. Найдите ∠EMD.

[Ответ: 41°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол, нужно найти вписанный.

17.9

На рисунке ∠XTM = 35°. Найдите ∠XSM.

[Ответ: 70°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, нужно найти центральный.

17.10

На рисунке ∠KAN = 114°. Найдите ∠KFN.

[Ответ: 123°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен центральный угол (меньшая дуга), нужно найти вписанный, опирающийся на большую дугу.

17.11

На рисунке ∠NXS = 117°. Найдите ∠NHS.

[Ответ: 126°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. В этих заданиях известен вписанный угол, опирающийся на большую дугу, нужно найти центральный (меньшую дугу).

17.12

На рисунке вписанный угол FCH меньше центрального угла FAH на 39°. Найдите эти углы.

[Ответ: ∠FCH = 39°; ∠FAH = 78°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи без рисунков на нахождение дуг и углов

17.13

Найдите ∠PXZ, если градусные меры дуг PX и XZ равны 13° и 143° соответственно.
[Ответ: 102°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.14

Хорда FX стягивает дугу 48°, а ∠FXE = 77°. Найдите дугу, стягиваемую хордой XE.
[Ответ: 158°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.15

Точки R и P делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 23:22. Найдите углы RMP и RDP.

[Ответ: ∠RMP = 88°; ∠RDP = 92°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.16

На окружности взяты три точки X, B и E так, что ◡XB:◡BE:◡XE = 1:3:4.
а) найдите градусные меры дуг XB, BE, XE;
б) найдите углы треугольника XBE.
[Ответ: а) ◡XB = 45°; ◡BE = 135°; ◡XE = 180°; б) ∠X = 67.5°; ∠B = 90°; ∠E = 22.5°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.17

На окружности взяты точки H, K, R так, что в треугольнике HKR ∠H = ∠R. Найдите углы ΔHKR, если хорда HK стягивает дугу в 96°.
[Ответ: ∠H = ∠R = 48°; ∠K = 84°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.18

ZE и DH - диаметры одной окружности.
а) найдите углы четырехугольника ZDEH;
б) найдите ◡EH, если ∠ZEH = 67°.
[Ответ: а) все углы по 90°; б) 46°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.19

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 89 см. Найдите гипотенузу треугольника.
[Ответ: 178 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи из ОГЭ/ЕГЭ на окружность

17.20

Центральный угол THN опирается на хорду TN длиной 22. При этом угол HTN равен 60°. Найдите радиус окружности.

[Ответ: 22]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.21

В окружности с центром в точке A проведены диаметры EZ и TM, угол AMZ равен 28°. Найдите величину угла AET. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 28]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.22

Найдите градусную меру центрального ∠OAB, если известно, что BT — диаметр, а градусная мера ∠OBT равна 13°.

[Ответ: 154]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные случаи, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой

17.23

Найдите градусную меру ∠CTD, если известно, что DT является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠COD равна 173°.

[Ответ: 86.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте чётное количество заданий в карточку, чтобы ученики смогли рассмотреть все возможные случаи, и чтобы сложность заданий для всех была одинаковой

17.24

В окружности с центром K проведены диаметры TR и OB. Угол TRO равен 22°. Найдите угол TKB. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 136]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.25

Точки S, C, F и N лежат на одной окружности так, что хорды SC и FN взаимно перпендикулярны, а ∠CNF = 25°. Найдите величину угла SFN. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 65]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.26

Треугольник KAH вписан в окружность с центром в точке C. Найдите градусную меру угла H треугольника KAH, если угол KCA равен 150°.

[Ответ: 75]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.27

На окружности с центром C отмечены точки B и Z так, что ∠BCZ = 128°. Длина меньшей дуги BZ равна 64. Найдите длину большей дуги.

[Ответ: 116]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.28

Точка S — центр окружности, на которой лежат точки K, A и H таким образом, что SKAH — ромб. Найдите угол KAH. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 120°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.29

На окружности по разные стороны от диаметра CF взяты точки S и M. Известно, что ∠MFC = 18°. Найдите угол MSF. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 72]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.30

Точка D – центр окружности, на которой лежат точки A, N и O. Известно, что ∠ANO = 60° и ∠DAN = 32°. Найдите угол NOD. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 28]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.31

Прямая касается окружности в точке H. Точка C — центр окружности. Хорда HS образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла CSH. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.32

В угол O величиной 136° вписана окружность с центром C, которая касается сторон угла в точках X и A. Найдите угол XCA. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 44]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.33

Сторона MT треугольника MHT содержит центр описанной около него окружности. Найдите ∠T, если ∠M = 66°. Ответ дайте в градусах.

[Ответ: 24]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.34

В угол величиной 170° вписана окружность, которая касается его сторон в точках N и M. На одной из дуг этой окружности выбрали точку T так, как показано на рисунке. Найдите величину угла NTM.

[Ответ: 5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.35

Окружность с центром в точке S описана около равнобедренного треугольника DFX, в котором DF = FX и ∠DFX = 125°. Найдите величину угла FSX. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 55]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.36

Точки T, A, E, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 16:21:8. Найдите больший угол треугольника TAE. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 84]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.37

Четырехугольник MNDF вписан в окружность. Угол MNF равен 40°, угол DMF равен 42°. Найдите угол MND. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 82]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.38

Стороны четырехугольника OSTN OS, ST, TN и ON стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 107°, 99°, 117°, 37°. Найдите угол S этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 77]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.39

Точки N, S, D, Z, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги NS, SD, DZ и NZ, градусные величины которых относятся соответственно как 1:7:8:14. Найдите угол N четырехугольника NSDZ. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 90]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

17.40

Четырехугольник OMKC вписан в окружность. Угол OMK равен 157°, угол OMC равен 49°. Найдите угол KOC. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 108]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 18 (Геометрия, 8 кл). Вписанные и описанные четырехугольники (9 типов заданий)

18.1

Углы четырехугольника BXSR равны:
а) ∠B = 152°; ∠X = 63°; ∠S = 28°; ∠R = 117°;
б) ∠B = 113°; ∠X = 43°; ∠S = 64°; ∠R = 140°.
Можно ли около него описать окружность?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.2

Углы D, A, K и S четырехугольника DAKS относятся как:
а) 11:24:34:21;
б) 1:2:3:3.
Можно ли около него описать окружность?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.3

Сторона BO прямоугольника BOEH равна 166, а меньший угол между диагоналями 60°. Найдите радиус описанной около прямоугольника окружности.
[Ответ: 166]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.4

Стороны FO, OM, MN и FN четырехугольника FOMN соответственно равны
а) 36 см, 7 см, 5 см, 34 см;
б) 59 см, 61 см, 13 см, 8 см.
Можно ли в него вписать окружность?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.5

Стороны XF, FS, SP и XP четырехугольника XFSP относятся как
а) 63:37:7:33;
б) 7:57:60:8.
Можно ли в него вписать окружность?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.6

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции равна 25 см. Найдите её периметр.
[Ответ: 100 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.7

В четырехугольник CDFB вписана окружность. Сторона CD равна 30 см, DF = 28 см, FB = 21 см. Найдите CB.
[Ответ: 23 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.8

В равнобедренную трапецию EKAM (KA||EM) вписана окружность с центром H, ZC - высота трапеции, проходящая через точку H (точка Z лежит на основании KA). Найдите угол EHC, если ∠KEC = 4°. Ответ дайте в градусах.
[Ответ: 88]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

18.9

Около четырехугольника PNSO описана окружность таким образом, что PO - её диаметр. ∠PNS = 91°, ∠NSO = 163°. Найдите углы NPO, POS, SPO, NOP.
[Ответ: 17°; 89°; 1°; 73°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 19 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Пропорциональные отрезки, свойства биссектрисы и медианы (5 типов заданий)

19.1

Пропорциональны ли отрезки:
а) PC = 90 см и HS = 20 см отрезкам P₁C₁ = 54 см и H₁S₁ = 96 см?
б) XA = 2 см и KT = 6 см отрезкам X₁A₁ = 7 см и K₁T₁ = 21 см?
[Ответ: a) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.2

Через произвольную точку N стороны PS треугольника PSZ проведена прямая, параллельная SZ, которая пересекает сторону PZ в точке H. Найдите NS, если PH = 9 см, HZ = 63 см, PN = 10 см.
[Ответ: 70 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.3

Расстояние от точки пересечения биссектрис равностороннего треугольника HNP до стороны HN равно 67 см. Найдите его медиану NA.
[Ответ: 201 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.4

Медиана равностороннего треугольника MDH равна 177 см. Найдите расстояние от точки пересечения высот этого треугольника до стороны MH.
[Ответ: 59 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

19.5

X - точка пересечения медиан треугольника RNH, HT - медиана этого треугольника, равная 213 см. Найдите TX и XH.
[Ответ: 71 см и 142 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 20 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Определение подобия (5 типов заданий)

20.1

Даны подобные треугольники TXE и PDN, у которых ∠T = ∠P, ∠X = ∠D, ∠E = ∠N. Запишите отношения всех пропорциональных сторон в виде равенства (пропорции).
[Ответ: \frac{TX}{PD} = \frac{XE}{DN} = \frac{TE}{PN}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.2

О треугольниках OES и BFM известно, что:
а) ∠O = 82°, ∠E = 25°, ∠B = 82°, ∠M = 73°;
б) ∠O = 28°, ∠E = 31°, ∠B = 28°, ∠M = 124°.
Подобны ли эти треугольники?
[Ответ: а) да; б) нет]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.3

Треугольник NOC подобен треугольнику HFS, причём коэффициент подобия равен 0.5 (NO · 0.5 = HF). Известно, что OC = 21 см, HF = 11.5 см, HS = 6.5 см. Найдите неизвестные стороны данных треугольников.
[Ответ: NO = 23 см, NC = 13 см, FS = 10.5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.4

Треугольники DEC и D₁E₁C₁ подобны. Найдите отрезки E₁C₁ и D₁C₁, если DE = 40 см, EC = 43 см, DC = 12 см, D₁E₁ = 32 см.
[Ответ: E₁C₁ = 34.4 см; D₁C₁ = 9.6 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

20.5

Известно, что ΔRDC ∞ ΔR₁D₁C₁, и ∠R = 77°, ∠D = 45°. Найдите углы треугольника R₁D₁C₁.
[Ответ: 77°, 45°, 58°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 21 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Первый признак подобия (5 типов заданий)

21.1

На стороне EX треугольника EXO взяли точку F, а на стороне XO - точку H таким образом, что ∠XEO и ∠XHF оказались равными. Докажите подобие треугольников EXO и HXF.
[Ответ: 1) ∠XEO и ∠XHF по условию; 2) ∠X общий => ΔEXO ∞ ΔHXF по двум углам]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.2

Дан параллелограмм TZSX, в котором на стороне SX взята произвольная точка F. Прямые ZF и TX пересекаются в точке N, которая находится вне параллелограмма. Найдите FN и NX, если SF = 32 см, XF = 22.4 см, ZF = 48 см, TX = 46 см.
[Ответ: FN = 33.6 см; NX = 32.2 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.3

В трапеции XCDK с основаниями XK = 30.4 см и CD = 38 см H - точка пересечения диагоналей. Найдите HD, если XH = 31.2 см.
[Ответ: 39 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.4

В трапеции TNZM с основаниями TM и NZ диагонали пересекаются в точке X. Найдите основание TM, если основание NZ равно 36 см, а NX:XM = 12:7.
[Ответ: 21 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

21.5

Подобны ли два треугольника, если:
а) один из углов первого треугольника равен 30°, а один из углов второго 68°,
б) один из углов первого треугольника равен 23°, а один из углов второго 67°?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 22 (Геометрия, 8 кл). Подобие треугольников. Второй и третий признаки подобия (5 типов заданий)

22.1

На стороне ZO угла OZP взята точка K так, что ZK < ZO, а на стороне ZP взята точка B так, что ZB < ZP. Подобны ли треугольники ZBK и ZPO, если:
а) ZB = 19 см, ZP = 28.5 см, ZK = 33 см, ZO = 42.5 см?
б) ZB = 48 см, ZP = 72 см, ZK = 40 см, ZO = 60 см?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.2

На стороне FD треугольника FDR взята точка B так, что FB = \frac{8}{13}FR, а на стороне FR - точка T так, что FT = \frac{8}{13}FD. Известно, что DR = 78 см. Найдите сторону BT.
[Ответ: 48 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.3

В треугольнике SPT известны три стороны: SP = 33 см, ST = 19 см, PT = 30 см. Сторону SP продолжили за точку P на отрезок PR, равный 82.5 см, а сторону TP продолжили за точку P на отрезок PB, равный 75 см. Найдите BR.
[Ответ: 47.5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.4

Точка N является точкой пересечения отрезков XM и FA. Она делит отрезок XM на отрезки XN = 92.5 см и MN = 37 см, а отрезок FA на FN = 87.5 см и NA = 35 см. Известно, что ∠XFN = 76°, ∠MNA = 34°. Найдите ∠NMA.
[Ответ: 70°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

22.5

В треугольнике XMR известны три стороны: XM = 69 см, XR = 90 см, MR = 81 см. На стороне XR отметили точку S, а на стороне XM - точку K. Оказалось, что RS = 60 см, MK = 46 см. Найдите SK.
[Ответ: 27 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 23 (Геометрия, 8 кл). Решение прямоугольных треугольников. Метрические соотношения (5 типов заданий)

23.1

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 40 см и 90 см. Найдите: а) эту высоту; б) катеты треугольника.
[Ответ: а) 60 см; б) 20\sqrt{13} см; 30\sqrt{13} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.2

В прямоугольном треугольнике ZHN с прямым углом H провели высоту HB. Известно, что ZH = 4 см, ZB = 2 см. Найдите ZN и HN.
[Ответ: а) 8 см; б) 4\sqrt{3} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.3

В прямоугольном треугольнике XFR с прямым углом F провели высоту FK. Оказалось, что XK на 25 см меньше FK, а RK на 50 см больше FK. Найдите XK и RK.
[Ответ: 25 см; 100 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.4

В ромбе EXZM диагонали пересекаются в точке N, отрезок NS - высота треугольника ENM. Известно, что MS:SE = 1:9, а также, что NS = 27 см. Найдите периметр ромба.
[Ответ: 360 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

23.5

Из точки T, лежащей на окружности, опустили перпендикуляр TN на диаметр HE. Оказалось, что TN = 36 см, HN = 81 см. Найдите радиус окружности.
[Ответ: 48.5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 24 (Геометрия, 8 кл). Решение прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора (6 типов заданий)

24.1

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 24 и 32 см; б) 24 и 16 см.
[Ответ: а) 40 см; б) 8\sqrt{13} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.2

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и другой катет равны: а) 40 и 24 см; б) 42 и 36 см.
[Ответ: а) 32 см; б) 6\sqrt{13} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.3

В прямоугольнике NXRZ NX = 21 см, XR = 72 см, B - точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника XBR.
[Ответ: 147 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.4

В треугольнике ROM RO = OM = 50 см, OD - высота, равная 14 см. Найдите RM.
[Ответ: 96 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.5

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 82 см до хорды этой же окружности длиной 160 см.
[Ответ: 18 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

24.6

Диагонали ромба равны 90 см и 48 см. Найдите его периметр.
[Ответ: 204 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 25 (Геометрия, 8 кл). Решение прямоугольных треугольников. Начала тригонометрии (10 типов заданий)

25.1

Постройте угол, синус которого равен \frac{2}{5}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.2

Постройте угол, косинус которого равен \frac{8}{9}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.3

Постройте угол, тангенс которого равен \frac{4}{7}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.4

Постройте угол, котангенс которого равен \frac{9}{8}.
а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений
б) разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку.
[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.5

Дан треугольник HFK с прямым углом F.
а) Заполните пропуски: \sin \angle K = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; \cos \angle K = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; tg \angle K = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; сtg \angle H = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}.
б) Найдите tg \angle H \cdot tg \angle K.
в) Найдите cos \angle H - sin \angle K.
[Ответ: а) \sin \angle K = \frac{HF}{HK}; \cos \angle K = \frac{FK}{HK}; tg \angle K = \frac{HF}{FK}; сtg \angle H = \frac{HF}{FK}; б) 1; в) 0]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.6

Начертите треугольник OEM с прямым углом E, и проведите высоту ET.
а) Заполните пропуски: \sin \angle TEM = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; tg \angle TEO = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; \cos \angle O = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;} = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}; ctg \angle M = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;} = \frac{\;\;\;\;\;}{\;\;\;\;\;}
б) Укажите все пары равных острых углов на рисунке;
в) Если cos ∠O = 0.74, то чему равен cos ∠TEM?
[Ответ: а) sin \angle TEM = \frac{TM}{EM}; tg \angle TEO = \frac{OT}{ET}; \cos \angle O = \frac{OE}{OM} = \frac{ET}{EM}; ctg \angle M = \frac{EM}{OE} = \frac{MT}{ET}; б) ∠O = ∠TEM; ∠M = ∠TEO; в) 0.74]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.7

Дан прямоугольный треугольник CBM с прямым углом M. Найдите синусы углов C и B, если CM = 80 см, BM = 18 см.
[Ответ: \frac{9}{41}; \frac{40}{41}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.8

Дан прямоугольный треугольник OFC с прямым углом C. Найдите тангенсы углов O и F, если OF = 50 см, FC = 48 см.
[Ответ: \frac{24}{7}; \frac{7}{24}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.9

Синус острого угла α равен \frac{13}{15}. Найдите его косинус, тангенс и котангенс.
[Ответ: cos α = \frac{2\sqrt{14}}{15}; tg α = \frac{13}{2\sqrt{14}}; ctg α = \frac{2\sqrt{14}}{13}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

25.10

Косинус острого угла α равен \frac{11}{16}. Найдите его синус, тангенс и котангенс.
[Ответ: sin α = \frac{3\sqrt{15}}{16}; tg α = \frac{3\sqrt{15}}{11}; ctg α = \frac{11}{3\sqrt{15}}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 26 (Геометрия, 8 кл). Многоугольники. Сумма углов выпуклого n-угольника (3 типа заданий)

26.1

Найдите сумму углов выпуклого 30-угольника.
[Ответ: 5040°]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

26.2

Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) 1440°; б) 740°?
Если да, то укажите количество его сторон. Если нет, то ответ обоснуйте.
[Ответ: а) да, это 10-угольник; б) нет, т.к. 740 не кратно 180]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

26.3

Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: а) 118°; б) 140°?
Если да, то укажите количество его сторон.
[Ответ: а) нет; б) да, это 9-угольник]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 27 (Геометрия, 8 класс). Площади многоугольников (9 типов заданий)

27.1

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 21]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции на рисунках будут треугольники, в которых высоту и основание можно посчитать по клеткам, причём высота проходит внутри треугольника.

27.2

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 18]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции на рисунках будут тупоугольные треугольники, в которых высоту и основание можно посчитать по клеткам, причём высота находится вне треугольника.

27.3

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 12.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции на рисунках будут прямоугольные треугольники.

27.4

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 45]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

27.5

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 1]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

27.6

Найдите площадь ромба, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 10]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

27.7

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 16.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции будут находиться треугольники, стороны которых невозможно посчитать по клеткам. Площади этих треугольников можно посчитать по формуле Пика, или же "дополнив" эти треугольники до прямоугольника и найдя разность между его площадью и площадью незаполненной области внутри него.

27.8

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 11]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции будут находиться треугольники, стороны которых невозможно посчитать по клеткам. При попытке "дополнить" их до прямоугольника окажется, что одна из вершин не попадает на границу этого прямоугольника.

27.9

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)

[Ответ: 3]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. На этой позиции будут находиться четырехугольники, которые можно "разрезать" одной из диагоналей на два треугольника, основания и высоты которых легко посчитать по клеткам.

✍

Тема 28 Текстовые задачи на площади фигур (29 типов заданий)

Площадь прямоугольника

28.1

Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой, а его площадь равна 60 см². Найдите стороны прямоугольника.
[Ответ: 10 см и 6 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.2

Одна из сторон прямоугольника относится к другой как 9:4, а его площадь равна 144 см². Найдите стороны прямоугольника.
[Ответ: 18 см и 8 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.3

Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 7 и 28 см.
[Ответ: 14 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.4

Квадрат со стороной 4 см и некоторый прямоугольник равновелики. Длина прямоугольника равна 2 см. Найдите: а) его ширину; б) его диагональ.
[Ответ: 8 см; 2\sqrt{17} см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.5

Стороны квадратов относятся как 19:6. Найдите отношение площадей этих квадратов.
[Ответ: 361:36]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.6

Площади квадратов относятся как 81:196. Найдите отношение сторон квадратов.
[Ответ: 9:14]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.7

В прямоугольнике BFXD проведена биссектриса угла F. Эта биссектриса пересекает диагональ BX в точке N, причём BN:NX = 5:1. Найдите площадь прямоугольника, если площадь треугольника BFN равна 135 см.
[Ответ: 324]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Площадь параллелограмма

28.8

Сторона параллелограмма равна 6 см, а высота, проведенная к ней, равна 19 см. Найдите площадь параллелограмма.
[Ответ: 114 см²]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.9

Площадь параллелограмма равна 840 см², а одна из сторон 28 см. Найдите высоту, проведенную к этой стороне.
[Ответ: 30 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.10

В параллелограмме BMON точка S - середина стороны ON. Найдите площадь трапеции BMSN, если площадь параллелограмма равна 64.
[Ответ: 48]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.11

В параллелограмме сторона равна 247 см, а высота, проведенная к ней, равна 8 см. Другая сторона параллелограмма равна 152 см. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
[Ответ: 13 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.12

Одна из диагоналей параллелограмма перпендикулярна стороне. Найдите его площадь, если стороны равны 82 см и 18 см.
[Ответ: 1440 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.13

Дан параллелограмм OKEX, в котором KX ⊥ OX, ∠EXO = 120°. Найдите площадь параллелограмма, если OX = 1.
[Ответ: 1\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.14

Дан параллелограмм FCHK, в котором CK ⊥ FK. Известно, что CK = 150 см, FH = 170 см. Найдите площадь параллелограмма.
[Ответ: 6000 см²]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.15

В параллелограмме соседние стороны равны 1 см и 21 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь параллелограмма.
[Ответ: 10.5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.16

Высота ромба равна 24 см, а одна из диагоналей 51 см. Найдите его площадь.
[Ответ: 693.6]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Вы можете добавлять в карточку не более одного такого задания.

28.17

Один из углов ромба равен 120°, а сторона равна 14. Найдите площадь ромба.
[Ответ: 98\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Площадь треугольника

28.18

Найдите площадь треугольника со стороной 3, если высота, проведенная к ней, равна 6.
[Ответ: 9]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.19

Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 и 6 см.
[Ответ: 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.20

Найдите сторону треугольника, если его площадь равна 57 см², а высота, проведенная к этой стороне, равна 6 см.
[Ответ: 19 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.21

В треугольнике сторона равна 36 см, а высота, проведенная к ней, равна 30 см. Другая сторона треугольника равна 48. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
[Ответ: 22.5 см]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.22

В треугольнике DFE DE = FE = 85 см, DF = 150 см. Найдите площадь треугольника.
[Ответ: 3000]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.23

В треугольнике RSZ RZ = SZ = 51 см, ZH - высота, равная 24 см. Найдите площадь треугольника.
[Ответ: 1080]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.24

В треугольнике OKT с прямым углом T отрезок TE является медианой. Найдите площадь треугольника, если KT = 75 см, TE = 42.5 см.
[Ответ: 1500]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.25

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 48 и 3 см. Найдите:
а) эту высоту;
б) катеты треугольника;
в) площадь треугольника.
[Ответ: а) 12 см; б) 12\sqrt{17} см и 3\sqrt{17} см; в) 306 см²]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.26

Дан треугольнике KRS, у которого ∠K = 30°. В нём проведена высота RM. Найдите площадь треугольника, если RS = 10\sqrt{2} см, а SM = 14 см.
[Ответ: 14+2\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.27

Сторона равностороннего треугольника равна 7. Найдите его площадь.
[Ответ: 12.25\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.28

Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 16. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
[Ответ: \frac{240}{17}=14 \frac{2}{17}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

28.29

В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке K. Известно, что AK = 12 см, BK = 18 см. Найдите площадь треугольника.
[Ответ: 216]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 29 (Геометрия, 9 класс). Векторы (10 типов заданий)

Сложение и вычитание векторов на клетчатой бумаге

29.1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки R, C, P и M. Постройте вектор \vec{RC} + \vec{PM}.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B, N и E. Постройте вектор \vec{AB} - \vec{NE}.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки M, B, D и N. Постройте вектор 2\vec{MB} + \vec{DN}.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.4

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки D, B, K и Z. Постройте вектор \vec{DB} - 2\vec{KZ}.

[Ответ: ---]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Задачи на вычисление длин векторов

29.5

На рисунке изображен прямоугольник BDRK. Найдите:
а) |\vec{BH} + \vec{DH}|,
б) |\vec{BH} - \vec{DH}|,
в) |\vec{BK} - \vec{BD}|,
если BD = 65, DR = 72.

B

D

R

K

H

[Ответ: а) 72; б) 65; в) 97]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.6

На рисунке изображен ромб HTOC. Найдите:
а) |\vec{HT} + \vec{HC}|,
б) |\vec{HT} - \vec{HC}|,
в) |\vec{HT} - \vec{HO}|,
если CT = 72, HO = 154.

H

T

O

C

E

[Ответ: а) 154; б) 72; в) 85]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.7

Дан равносторонний треугольник TMF. Найдите:
а) |\vec{TM} + \vec{TF}|,
б) |\vec{TM} - \vec{TF}|,
если стороны треугольника равны 29\sqrt{3}.
[Ответ: а) 87; б) 29\sqrt{3}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.8

В треугольнике MBP MB = 35, BP = 21, ∠MBP = 120°. Найдите |\vec{MB} + \vec{BP}|.
[Ответ: 49]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.9

Найдите модуль суммы векторов \vec{a} и \vec{b}.

40

32

[Ответ: 24]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

29.10

Найдите модуль суммы векторов \vec{a} и \vec{b}.

47

34

[Ответ: 17]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 30 (Геометрия, 9 класс). Расстояние между точками, координаты середины отрезка (8 типов заданий)

30.1

Найдите расстояние между точками Z(-6; -14) и O(-8; -12).
[Ответ: 2\sqrt{2}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Примечание для учителя. Добавьте в карточку два таких задания (или число, кратное двум): в одном из них расстояние получится целым, а в другом иррациональным.

30.2

Даны три точки: K(20; -25), C(12; -18) и R(4; -25). Докажите, что углы K и R треугольника KCR равны.
[Ответ: Две стороны треуг. равны \sqrt{113}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.3

Найдите координаты середины отрезка XE, если X(3; 9); E(-9; 23).
[Ответ: (-3; 16)]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.4

Точка R(-11; -13) - середина отрезка HB. Найдите координаты точки B, если H(-2; -12).
[Ответ: (-20; -14)]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.5

Даны три точки: E(-14; 21), F(-4; 3) и H(-15; 18). Найдите длину медианы HO треугольника EFH.
[Ответ: 6\sqrt{2}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.6

Даны точки: M(-14; 3), F(2; 13). Найдите расстояние от середины отрезка MF до начала координат.
[Ответ: 10]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.7

Лежат ли точки E, D, C на одной прямой, если:
а) E(-3; 3), D(0; -6), C(1, -12);
б) E(-3; 14), D(0; -1), C(1, -6)?
[Ответ: а) нет; б) да]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

30.8

Расстояние между точками M(-7; 5) и C(x; 13) равно 8\sqrt{2}. Найдите x.
[Ответ: -15 или 1]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

✍

Тема 31 (Геометрия, 10 класс). Перпендикулярность. Теорема о трех перпендикулярах (9 типов заданий)

Перпендикулярность прямой и плоскости

31.1

Из точки T к плоскости \alpha проведены перпендикуляр TX и наклонные TN и TH. Известно, что TN = 32, NX = 8\sqrt{7}, XH = 10. Найдите расстояние от точки T до плоскости и наклонную TH.
[Ответ: 24; 26]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.2

Из точки O к плоскости \alpha проведены перпендикуляр OX и наклонные OC и OP. Известно, что OC = 14, CX = 4\sqrt{10}, \sin{\angle OPX} = 0.25. Найдите расстояние от точки O до плоскости, наклонную OP и её проекцию XP.
[Ответ: 6; 24; 6\sqrt{15}]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.3

Проекции двух наклонных, проведенных из точки S к некоторой плоскости, равны 8 и 4\sqrt{19}, а сумма длин этих наклонных равна 40. Найдите расстояние от точки S до плоскости.
[Ответ: 15]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.4

Точка X находится на расстоянии 10\sqrt{5} от каждой вершины треугольника SCE. Найдите расстояние от точки X до плоскости треугольника, если CE = 40, \sin{\angle S} = \frac{10}{11}.
[Ответ: 4]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

Теорема о трех перпендикулярах

31.5

Квадрат SHAB лежит в плоскости \alpha, PA - перпендикуляр к этой плоскости. Докажите, что PK ⊥ HB (где K - точка пересечения диагоналей квадрата).
[Ответ: PA - перпендикуляр, PK - наклонная, KA - проекция. HB \in \alpha и HB ⊥ KA (диаг. квадрата) => HB ⊥ PK (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.6

KOEZ - ромб, лежащий в плоскости \alpha, AE - перпендикуляр к этой плоскости. Докажите, что AK ⊥ OZ.
[Ответ: AE - перпендикуляр, AK - наклонная, KE - проекция. OZ \in \alpha и OZ ⊥ KE (диаг. ромба) => OZ ⊥ AK (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.7

Треугольник DKP равнобедренный, DK = DP. Из точки D восставлен перпендикуляр DS к плоскости треугольника. T - середина стороны KP. Докажите, что ST ⊥ KP.
[Ответ: SD - перпендикуляр, ST - наклонная, DT - проекция. KP \in \alpha и KP ⊥ DT (медиана р/б треуг. явл. высотой) => ST ⊥ KP (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.8

Из центра N окружности, лежащей в плоскости \alpha, восставлен перпендикуляр ND к этой плоскости. Прямая d принадлежит плоскости \alpha и касается окружности в точке K. Докажите, что DK ⊥ d.
[Ответ: ND - перпендикуляр, DK - наклонная, NK - проекция. d \in \alpha и d ⊥ NK (радиус в точке касания) => d ⊥ DK (ТТП).]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]

31.9

Точка N находится на одинаковом расстоянии от сторон правильного треугольника PFM. Найдите расстояние от точки N до стороны PF, если расстояние от этой точки до плоскости треугольника равно 4 см, PF = 6\sqrt{3} см.
[Ответ: 5]
[просмотреть похожие] [сообщить об ошибке] [✖ видеоразбор отсутствует]