Задание 12 базового ЕГЭ: равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — одна из ключевых тем в геометрии, которая регулярно встречается в задании 12 базового ЕГЭ по математике. Понимание свойств этой фигуры необходимо для успешного выполнения экзаменационных заданий.

Основные свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Ключевые свойства равнобедренного треугольника:

• Боковые стороны равны: \( AB = AC \)
• Углы при основании равны: \( \angle B = \angle C \)
• Высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой
• Медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой

Формулы для решения задач

Для успешного решения задач с равнобедренными треугольниками в ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Теорема Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Формула площади треугольника: \( S = \frac{1}{2}ah \), где a — основание, h — высота
• Формула площади через стороны и угол: \( S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \)
• Теорема косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \)
• Теорема синусов: \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \)
• Свойство биссектрисы: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
• Свойство медианы: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

Практическое применение в преподавании

При подготовке учащихся к заданию 12 базового ЕГЭ по математике важно отработать распознавание равнобедренных треугольников в различных геометрических конфигурациях. Ученики должны уметь применять свойства равнобедренного треугольника в комбинации с другими геометрическими фактами.

Для отработки навыков решения задач на равнобедренный треугольник вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, учитывая их уровень подготовки и типичные ошибки.

Задачи для самостоятельного решения

Предлагаемые задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Задача 1

В равнобедренном треугольнике FTP известно, что FT = TP = 50, FP = 96. Найдите sin ∠TFP.

Решение:

В треугольнике FTP стороны FT и TP равны по 50, значит, треугольник равнобедренный с основанием FP = 96. Нам нужно найти синус угла TFP, то есть угла при вершине F.

Проведем высоту TH к основанию FP. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому FH = HP = 96/2 = 48.

Рассмотрим прямоугольный треугольник FTH. В нем FT = 50 (гипотенуза), FH = 48 (катет). Найдем второй катет TH по теореме Пифагора:

\( TH = \sqrt{FT^2 - FH^2} = \sqrt{50^2 - 48^2} = \sqrt{2500 - 2304} = \sqrt{196} = 14 \)

Угол TFP — это угол между сторонами FT и FP. В треугольнике FTH синус угла TFP равен отношению противолежащего катета TH к гипотенузе FT:

\( \sin(\angle TFP) = \frac{TH}{FT} = \frac{14}{50} = 0,28 \)

Ответ: 0,28

Задача 2

В треугольнике MBA угол B равен 120°. Медиана BP делит угол B пополам и равна 9. Найдите длину стороны MB.

Решение:

Дано: в треугольнике MBA ∠B = 120°, медиана BP делит угол B пополам и равна 9. Медиана BP соединяет вершину B с серединой стороны MA.

Так как BP — медиана и биссектриса, то треугольник MBA равнобедренный с основанием MA. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.

Значит, MB = AB, и BP ⊥ MA. Рассмотрим треугольник MBP. В нем ∠MBP = 60° (половина от 120°), BP = 9.

В прямоугольном треугольнике MBP (BP — высота) имеем:

\( \cos(60°) = \frac{BP}{MB} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{9}{MB} \)

\( MB = 18 \)

Ответ: 18

Методические рекомендации

При изучении темы "Равнобедренный треугольник" рекомендуется обратить внимание учащихся на следующие аспекты:

• Умение доказывать равенство треугольников, на которые делит равнобедренный треугольник его высота
• Понимание связи между углами при основании и углом при вершине
• Навык применения теоремы Пифагора в равнобедренном треугольнике
• Умение использовать свойства равнобедренного треугольника в комбинации с другими геометрическими теоремами

Для дополнительной практики вы можете скачать PDF-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ. Эти материалы содержат задачи, аналогичные встречающимся в ЕГЭ, и помогут вашим ученикам закрепить изученный материал.