Задание 13 базового ЕГЭ по математике: Цилиндр - теория и практика

Тема "Цилиндр" регулярно встречается в задании 13 базового ЕГЭ по математике и требует от учащихся уверенного владения формулами площади поверхности и объема, а также понимания геометрических свойств этой фигуры. В этой статье мы систематизируем теоретические сведения о цилиндре и предложим практические материалы для подготовки учащихся.

Теоретические основы цилиндра

Цилиндр — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. В школьном курсе математики рассматривается прямой круговой цилиндр, основания которого представляют собой равные круги, расположенные в параллельных плоскостях.

Основные элементы цилиндра:

Основания — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях
Образующая — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований
Высота — расстояние между плоскостями оснований
Ось — прямая, проходящая через центры оснований
Радиус — радиус основания цилиндра

Формулы для решения задач на цилиндр в ЕГЭ

Для успешного выполнения заданий на цилиндр в ЕГЭ необходимо знать следующие формулы:

Площадь поверхности цилиндра

Полная площадь поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

\( S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R(R + h) \)

где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = 2\pi Rh \)

Объем цилиндра

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\( V = \pi R^2 h \)

Методические материалы для учителей

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 13 ЕГЭ по математике, связанному с цилиндром, рекомендуем использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика, обеспечивая персонализированный подход к обучению.

Также на странице доступны PDF-файлы с самостоятельными работами по теме "Цилиндр". Задания в этих работах аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все возможные варианты задач.

Математические факты и формулы для решения задач на цилиндр

Для решения задач на цилиндр из банка ФИПИ, необходимы следующие математические факты и формулы:

Формула площади прямоугольника: \( S = a \times b \)
Формула площади круга: \( S = \pi R^2 \)
Формула длины окружности: \( C = 2\pi R \)
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Свойства параллельных сечений в цилиндре
Формула площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2\pi Rh \)
Формула площади осевого сечения цилиндра: \( S = 2Rh \)
Формула площади сечения, параллельного оси цилиндра

Разбор задач на цилиндр

Задача

Радиус основания цилиндра равен 34, а его образующая равна 5. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 30. Найдите площадь этого сечения.

Решение:

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон равна образующей цилиндра, то есть 5.

Вторая сторона сечения — это хорда основания цилиндра, находящаяся на расстоянии 30 от центра. По теореме Пифагора найдем длину этой хорды:

\( \frac{l}{2} = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = \sqrt{256} = 16 \)

Таким образом, длина хорды \( l = 2 \times 16 = 32 \).

Площадь сечения: \( S = 32 \times 5 = 160 \).

Ответ: 160