Задание 13 базового ЕГЭ по математике: Пирамида

Тема «Пирамида» регулярно встречается в задании 13 базового ЕГЭ по математике и требует от учащихся уверенного владения стереометрическими понятиями. В этой статье мы систематизируем теоретический материал и рассмотрим практические подходы к решению задач, которые помогут учителям эффективно подготовить учеников к экзамену.

Основные понятия и определения

Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, а все боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды). В контексте ЕГЭ наиболее часто встречаются:

Правильная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания
Четырехугольная пирамида — пирамида с четырехугольником в основании
Шестиугольная пирамида — пирамида с шестиугольником в основании

Формулы для решения задач

Для успешного решения задач на пирамиду в ЕГЭ необходимо знать следующие формулы:

Объем пирамиды

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( l \) — апофема (высота боковой грани).

Элементы правильной пирамиды

В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота проходит через центр основания, который является центром описанной и вписанной окружности (для правильного многоугольника).

Математические факты и формулы для решения задач

Для решения предложенных задач потребуются следующие математические факты и формулы:

Формула объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \)
Формула площади прямоугольника: \( S = a \cdot b \)
Формула площади правильного шестиугольника: \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \), где \( a \) — сторона шестиугольника
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \)
Теорема Пифагора для нахождения апофемы: \( l = \sqrt{h^2 + R^2} \), где \( h \) — высота боковой грани, \( R \) — расстояние от центра основания до середины стороны
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне: \( R = a \)
Расстояние от центра правильного шестиугольника до стороны: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Разбор задач

Задача 1

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 28 и 7. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 392.

Решение:

Найдем площадь основания пирамиды. Основание — прямоугольник со сторонами 28 и 7: \( S_{осн} = 28 \cdot 7 = 196 \)
Используем формулу объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \)
Подставим известные значения: \( 392 = \frac{1}{3} \cdot 196 \cdot H \)
Упростим: \( 392 = \frac{196}{3} \cdot H \)
Умножим обе части на 3: \( 1176 = 196 \cdot H \)
Найдем высоту: \( H = \frac{1176}{196} = 6 \)

Ответ: высота пирамиды равна 6.

Задача 2

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Найдем периметр основания: \( P_{осн} = 6 \cdot 24 = 144 \)
Для нахождения площади боковой поверхности нужна апофема — высота боковой грани.
Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник с основанием 24 и боковыми сторонами 20.
Найдем апофему (высоту боковой грани) по теореме Пифагора: \( l = \sqrt{20^2 - (24/2)^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \)
Теперь найдем площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 16 = 72 \cdot 16 = 1152 \)

Ответ: площадь боковой поверхности равна 1152.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 13 ЕГЭ по теме «Пирамида» рекомендуется:

Отработать распознавание типа пирамиды по условию задачи
Закрепить навыки работы с основными формулами объема и площади поверхности
Уделить внимание построению сечений пирамиды
Тренировать умение применять теорему Пифагора в стереометрических задачах

Для организации дифференцированного подхода в обучении вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика по теме «Пирамида» и другим разделам математики.

Дополнительные материалы

На странице доступны задания для самостоятельной работы в формате PDF, которые аналогичны задачам из открытого банка заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Систематическая работа с предложенными материалами позволит вашим ученикам уверенно решать задачи на пирамиду в задании 13 базового ЕГЭ по математике и успешно справляться с экзаменационными заданиями.