Задание 13 базового ЕГЭ: подобные тела и отношение их объёмов

В задании 13 базового ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на подобные геометрические тела. Эта тема вызывает затруднения у многих учащихся, поэтому требует особого внимания при подготовке. В статье рассмотрим ключевые понятия и формулы, необходимые для успешного решения таких задач.

Что такое подобные тела?

Два геометрических тела называются подобными, если все их соответствующие линейные размеры пропорциональны. Коэффициент подобия (k) показывает, во сколько раз линейные размеры одного тела больше или меньше соответствующих размеров другого тела.

Например, если куб со стороной 2 см и куб со стороной 4 см являются подобными телами с коэффициентом подобия k = 2.

Соотношения площадей и объёмов подобных тел

Для подобных тел существуют строгие математические зависимости:

• Отношение площадей поверхностей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_1}{S_2} = k^2 \)
• Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: \( \frac{V_1}{V_2} = k^3 \)

Эти соотношения справедливы для любых подобных тел: кубов, шаров, цилиндров, конусов, пирамид и других.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на подобные тела в задании 13 ЕГЭ необходимо знать:

1. Формулу объёма шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \)
2. Формулу объёма цилиндра: \( V = \pi R^2 h \)
3. Формулу объёма конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 h \)
4. Формулу объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \)
5. Свойство подобных тел: отношение объёмов равно кубу коэффициента подобия
6. Свойство подобных тел: отношение площадей поверхностей равно квадрату коэффициента подобия
7. Понятие коэффициента подобия как отношения любых соответствующих линейных размеров

Разбор практических задач

Задача 1: шары разных размеров

Даны два шара с радиусами 40 и 20. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Решение:

Найдём коэффициент подобия: \( k = \frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{20} = 2 \)

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: \( \frac{V_1}{V_2} = k^3 = 2^3 = 8 \)

Можно также решить через формулы объёмов:

\( V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 40^3 \)

\( V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 20^3 \)

\( \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi \cdot 40^3}{\frac{4}{3}\pi \cdot 20^3} = \frac{40^3}{20^3} = \left(\frac{40}{20}\right)^3 = 2^3 = 8 \)

Ответ: объём большего шара больше объёма меньшего в 8 раз.

Задача 2: цилиндры с разными параметрами

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 5 и 3, а второго — 15 и 2. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

Решение:

В этой задаче тела не являются подобными, так как отношение радиусов \( \frac{15}{5} = 3 \), а отношение высот \( \frac{2}{3} \) не равно 3. Поэтому решаем через вычисление объёмов по формулам.

Объём первого цилиндра: \( V_1 = \pi R_1^2 h_1 = \pi \cdot 5^2 \cdot 3 = \pi \cdot 25 \cdot 3 = 75\pi \)

Объём второго цилиндра: \( V_2 = \pi R_2^2 h_2 = \pi \cdot 15^2 \cdot 2 = \pi \cdot 225 \cdot 2 = 450\pi \)

Отношение объёмов: \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{450\pi}{75\pi} = 6 \)

Ответ: объём второго цилиндра больше объёма первого в 6 раз.

Методические рекомендации для учителей

При изучении темы "Подобные тела" рекомендуется:

• Начать с повторения понятия подобия на плоскости (подобные треугольники)
• Перейти к понятию подобия в пространстве, используя наглядные модели
• Разобрать доказательство соотношений для площадей и объёмов
• Решать задачи как на подобные тела, так и на неподобные (как в задаче 2)
• Обратить внимание на типичные ошибки учащихся

Для отработки навыков решения задач на подобные тела вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика по этой теме.

Также на странице доступны задания для самостоятельной работы, которые аналогичны задачам из открытого банка заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Заключение

Задачи на подобные тела в задании 13 базового ЕГЭ по математике требуют чёткого понимания соотношений между линейными размерами, площадями поверхностей и объёмами геометрических тел. Успешное решение таких задач основано на знании основных формул и свойств подобия.