Задание 13 базового ЕГЭ: Прямая призма - полный разбор

Задачи на вычисление объема и площади поверхности прямой призмы регулярно встречаются в задании 13 базового ЕГЭ по математике. Эта тема требует уверенного владения основами стереометрии и умения применять формулы на практике. В статье разберем ключевые аспекты, необходимые для успешного решения таких задач.

Что такое прямая призма?

Прямой призмой называется многогранник, у которого:

• Два основания - равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях
• Боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой
• Боковые грани являются прямоугольниками

Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра. В зависимости от формы основания различают треугольные, четырехугольные, шестиугольные и другие призмы.

Основные формулы для прямой призмы

Объем призмы

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

\( V = S_{осн} \cdot h \)

где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы.

Площадь поверхности

Полная площадь поверхности призмы складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности:

\( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \)

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \)

Особенности различных типов призм

Треугольная призма

Если основанием служит треугольник, то для вычисления его площади могут понадобиться различные формулы в зависимости от имеющихся данных:

• Для прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2}ab \), где a и b - катеты
• По формуле Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где p - полупериметр
• Через сторону и высоту: \( S = \frac{1}{2}ah \)

Четырехугольная призма

Наиболее часто встречается прямоугольный параллелепипед - частный случай прямой призмы с прямоугольником в основании. Его объем вычисляется по формуле:

\( V = abc \), где a, b, c - измерения параллелепипеда.

Шестиугольная призма

Правильная шестиугольная призма имеет в основании правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна:

\( S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \)

Математические факты и формулы для решения задач на призмы

Для успешного решения задач на призмы в задании 13 ЕГЭ необходимо знать:

• Формулу объема прямой призмы: \( V = S_{осн} \cdot h \)
• Формулу площади боковой поверхности прямой призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \)
• Формулу площади полной поверхности: \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \)
• Теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
• Формулы площади различных фигур-оснований:
  • Прямоугольный треугольник: \( S = \frac{1}{2}ab \)
  • Произвольный треугольник: \( S = \frac{1}{2}ah \) или формула Герона
  • Прямоугольник: \( S = ab \)
  • Квадрат: \( S = a^2 \)
  • Параллелограмм: \( S = ah \)
  • Правильный шестиугольник: \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \)

Примеры решения задач

Задача

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 12, а гипотенуза равна \( 2\sqrt{37} \). Найдите объём призмы, если её высота равна 8.

Решение:

1. Найдем второй катет треугольника-основания по теореме Пифагора:

\( (2\sqrt{37})^2 = 12^2 + b^2 \)

\( 4 \cdot 37 = 144 + b^2 \)

\( 148 = 144 + b^2 \)

\( b^2 = 4 \), следовательно \( b = 2 \)

2. Вычислим площадь основания (прямоугольного треугольника):

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 = 12 \)

3. Найдем объем призмы:

\( V = S_{осн} \cdot h = 12 \cdot 8 = 96 \)

Ответ: 96

Подготовка к заданию 13 ЕГЭ

Для эффективной подготовки учащихся к решению задач на призмы в базовом ЕГЭ по математике рекомендуем использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика, обеспечивая разнообразную практику.

Также на странице доступна самостоятельная работа по теме "Прямая призма", содержащая задания, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

При подготовке уделите особое внимание:

• Определению типа призмы и формы ее основания
• Правильному выбору формулы для вычисления площади основания
• Внимательной работе с единицами измерения
• Проверке полученных результатов на соответствие условию задачи

Регулярная практика решения задач на вычисление объема и площади поверхности прямой призмы поможет учащимся уверенно справиться с заданием 13 базового ЕГЭ по математике.