Задание 15 базового ЕГЭ по математике: Отношения и их свойства

В задании 15 базового ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на отношения — математические конструкции, позволяющие сравнивать величины и находить их пропорциональные части. Эта тема является фундаментальной для многих разделов математики и регулярно включается в экзаменационные работы.

Что такое отношение в математике?

Отношение двух чисел — это результат деления одного числа на другое. Если числа a и b связаны отношением, то записывается это как a:b или \(\frac{a}{b}\). Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.

В контексте задания 15 базового ЕГЭ по математике отношения обычно используются для распределения целого на части согласно заданным пропорциям.

Основные свойства отношений

• Отношение не меняется, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля
• Если a:b = c:d, то ad = bc (основное свойство пропорции)
• Отношение обратных чисел равно обратному отношению исходных чисел

Математические факты и формулы для решения задач на отношения

Для успешного решения задач на отношения в задании 15 базового ЕГЭ по математике необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Если величины A и B относятся как m:n, то A = \(\frac{m}{m+n}\) × S, а B = \(\frac{n}{m+n}\) × S, где S — общая сумма величин A и B
• Отношение a:b означает, что на каждые a единиц одной величины приходится b единиц другой величины
• Чтобы найти, какую часть целого составляет величина с заданным отношением, нужно разделить соответствующую часть отношения на сумму всех частей отношения
• Если отношение задано как m:n, то общее количество частей равно m+n
• Для нахождения значения одной части нужно разделить общую величину на сумму частей отношения

Практическое применение: решение задач

Рассмотрим конкретные примеры задач на отношения, аналогичные тем, которые встречаются в задании 15 базового ЕГЭ по математике.

Задача 1

Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 552 га и распределена между зерновыми и бахчевыми культурами в отношении 4:19 соответственно. Сколько гектаров занимают бахчевые культуры?

Решение:

Отношение 4:19 показывает, что общее количество частей составляет 4 + 19 = 23 части.

Одна часть соответствует: 552 ÷ 23 = 24 га.

Бахчевые культуры занимают: 19 × 24 = 456 га.

Ответ: 456 га

Задача 2

На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 423 человека. Голоса между кандидатами распределились в отношении 7:2. Сколько голосов получил победитель?

Решение:

Отношение 7:2 показывает, что общее количество частей составляет 7 + 2 = 9 частей.

Одна часть соответствует: 423 ÷ 9 = 47 голосов.

Победитель получил: 7 × 47 = 329 голосов.

Ответ: 329 голосов

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 15 базового ЕГЭ по математике, посвященному отношениям, рекомендуется обратить внимание на следующие аспекты:

• Проработать алгоритм решения задач на отношения: определение общего количества частей, нахождение значения одной части, вычисление искомых величин
• Рассмотреть различные формулировки задач, где отношения могут быть заданы явно или требуют дополнительного анализа условия
• Отработать навык проверки полученного результата: сумма найденных частей должна равняться целому

Для организации эффективной подготовки к заданию 15 базового ЕГЭ по математике вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий — сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме отношений.

Дополнительные материалы

На странице доступны задания для самостоятельной работы по теме "Отношения", которые можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Эти задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Учителя математики могут скачать PDF-файлы с заданиями для использования на уроках, проведения контрольных работ или организации дополнительных занятий по подготовке к заданию 15 базового ЕГЭ по математике.