Задание 19 базового ЕГЭ: Числа и их свойства

Задание 19 в базовом ЕГЭ по математике проверяет знания о числах и их свойствах. Эта тема требует глубокого понимания различных типов чисел и умения работать с их характеристиками. В статье разберем ключевые аспекты, которые помогут учителям эффективно подготовить учащихся к этому заданию.

Основные типы чисел и их свойства

Для успешного выполнения задания 19 необходимо уверенное владение классификацией чисел и их свойствами:

• Натуральные числа - числа, используемые для счета: 1, 2, 3, ...
• Целые числа - включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа
• Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где m - целое, n - натуральное
• Действительные числа - включают рациональные и иррациональные числа

Ключевые свойства чисел для задания 19

При подготовке к заданию 19 особое внимание следует уделить следующим свойствам чисел:

Делимость чисел

Признаки делимости помогают быстро определять, делится ли число на другое без остатка:

• На 2: последняя цифра четная
• На 3: сумма цифр делится на 3
• На 4: число из двух последних цифр делится на 4
• На 5: последняя цифра 0 или 5
• На 8: число из трех последних цифр делится на 8
• На 9: сумма цифр делится на 9
• На 10: последняя цифра 0

Свойства среднего арифметического

Среднее арифметическое n чисел вычисляется по формуле: \(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\)

Если известно среднее арифметическое и количество чисел, можно найти сумму всех чисел: \(S = \overline{x} \cdot n\)

Свойства натуральных чисел

Натуральные числа обладают следующими важными характеристиками:

• Любое натуральное число можно разложить на простые множители
• Количество делителей натурального числа можно найти через каноническое разложение
• Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) часто используются в задачах

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач задания 19 необходимы следующие математические факты и формулы:

1. Формула среднего арифметического: \(\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)
2. Связь между суммой чисел, их количеством и средним арифметическим: \(S = n \cdot \overline{x}\)
3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10
4. Свойство: если число делится на 30, то оно делится на 2, 3 и 5 одновременно
5. Свойство: если число делится на 8, то число из трех последних цифр делится на 8
6. Формула для нахождения неизвестного числа в наборе при известном среднем арифметическом: \(x_{n+1} = \overline{x}_{новый} \cdot (n+1) - \overline{x}_{старый} \cdot n\)

Разбор практических задач

Задача 1: Среднее арифметическое

Условие: Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 11. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 21. Чему равно восьмое число?

Решение:

1. Найдем сумму семи чисел: \(S_7 = 7 \cdot 11 = 77\)
2. Найдем сумму восьми чисел: \(S_8 = 8 \cdot 21 = 168\)
3. Восьмое число равно разности сумм: \(x_8 = S_8 - S_7 = 168 - 77 = 91\)

Ответ: 91

Задача 2: Трехзначное число, кратное 8

Условие: Найдите трехзначное число, кратное 8, произведение цифр которого больше 95, но меньше 99. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

1. Число должно быть кратно 8, поэтому три последние цифры должны образовывать число, делящееся на 8
2. Произведение цифр должно находиться в интервале (95; 99)
3. Рассмотрим возможные варианты:
   • 384: 3×8×4 = 96 - подходит
   • 464: 4×6×4 = 96 - подходит

Ответ: 384 или 464

Задача 3: Вычеркивание цифр

Условие: Вычеркните в числе 869684031 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Решение:

1. Чтобы число делилось на 30, оно должно делиться на 2, 3 и 5 одновременно
2. Признак делимости на 5: последняя цифра 0 или 5
3. Признак делимости на 2: последняя цифра четная
4. Следовательно, последняя цифра должна быть 0
5. В исходном числе нет цифры 0, но мы можем ее получить, вычеркнув определенные цифры
6. Рассмотрим варианты:
   • Вычеркиваем цифры 8, 9 и 3: получаем 696840 - делится на 30
   • Вычеркиваем цифры 6, 8 и 3: получаем 869640 - делится на 30

Ответ: 696840 или 869640

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 19 по теме "Числа и их свойства" рекомендуем:

• Повторить классификацию чисел и их свойства
• Отработать признаки делимости на практике
• Рассмотреть различные стратегии решения задач на свойства чисел
• Использовать задачи из открытого банка заданий ФИПИ

Для организации эффективной работы на уроках вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика по теме "Числа и их свойства", что особенно полезно при дифференцированном подходе к обучению.

Также на странице доступны материалы для самостоятельной работы, содержащие задачи, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ФИПИ. Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Используя предложенные материалы и методы работы, вы сможете качественно подготовить учащихся к выполнению задания 19 базового ЕГЭ по математике, обеспечив им уверенное владение темой "Числа и их свойства".