Задание 20 базового ЕГЭ: задачи на движение по окружности

Задачи на движение по окружности занимают особое место в базовом ЕГЭ по математике. Эти задания требуют от учащихся не только знания стандартных формул движения, но и понимания специфики круговых трасс. В отличие от линейного движения, здесь появляются дополнительные параметры — длина окружности и точки встречи.

Особенности задач на круговое движение

При решении задач на движение по окружности важно учитывать несколько ключевых моментов. Во-первых, длина трассы является замкнутой — объекты движутся по кругу и могут многократно встречаться. Во-вторых, понятие «догнать» означает, что один объект проехал на целое число кругов больше другого.

Основная формула, которая используется в таких задачах: \( S = v \cdot t \), где \( S \) — путь, \( v \) — скорость, \( t \) — время. Однако при движении по окружности путь измеряется не в линейных единицах, а в количестве кругов или долях круга.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на движение по окружности учащимся необходимо знать следующие математические факты:

• Длина окружности вычисляется по формуле: \( C = 2\pi R = \pi D \), где \( R \) — радиус, \( D \) — диаметр
• При движении двух объектов по окружности в одном направлении скорость сближения равна разности их скоростей: \( v_{сбл} = |v_1 - v_2| \)
• Время до первой встречи при движении в одном направлении: \( t = \frac{S}{|v_1 - v_2|} \), где \( S \) — расстояние между объектами в начальный момент
• Если два объекта start из одной точки и движутся в одном направлении, то первый раз они встретятся, когда более быстрый объект пройдет на один круг больше медленного
• При движении по окружности путь может измеряться в долях окружности или в абсолютных единицах длины

Практическое применение в преподавании

Задачи на движение по окружности развивают у учащихся пространственное мышление и умение работать с относительными величинами. На уроках полезно начинать с простых задач, где объекты движутся из одной точки, а затем переходить к более сложным — с различными точками старта.

Обратите внимание, что задач именно на движение по окружности в Открытом банке заданий ФИПИ практически нет. Это делает тему особенно ценной для дополнительной проработки с учениками.

Для отработки навыков решения подобных задач вы можете использовать наш генератор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты для каждого ученика.

Разбор конкретных задач

Задача: Движение велосипедиста и мотоциклиста

Условие: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 32 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 16 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 45 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость велосипедиста, \( v_2 \) — скорость мотоциклиста (км/ч).

К моменту старта мотоциклиста велосипедист был в пути 32 минуты = \( \frac{32}{60} \) часа и проехал расстояние \( v_1 \cdot \frac{32}{60} \).

Мотоциклист догнал велосипедиста через 16 минут = \( \frac{16}{60} \) часа. За это время мотоциклист проехал \( v_2 \cdot \frac{16}{60} \), а велосипедист (от момента старта мотоциклиста) — \( v_1 \cdot \frac{16}{60} \).

Уравнение для первой встречи: \( v_2 \cdot \frac{16}{60} = v_1 \cdot \frac{32}{60} + v_1 \cdot \frac{16}{60} \)

Упрощаем: \( v_2 \cdot \frac{16}{60} = v_1 \cdot \frac{48}{60} \)

Отсюда: \( v_2 = 3v_1 \)

Между первой и второй встречей прошло 45 минут = \( \frac{45}{60} \) часа. За это время мотоциклист проехал \( v_2 \cdot \frac{45}{60} \), а велосипедист — \( v_1 \cdot \frac{45}{60} \).

Разность пройденных путей равна длине трассы (15 км): \( v_2 \cdot \frac{45}{60} - v_1 \cdot \frac{45}{60} = 15 \)

Подставляем \( v_2 = 3v_1 \): \( (3v_1 - v_1) \cdot \frac{45}{60} = 15 \)

\( 2v_1 \cdot \frac{3}{4} = 15 \)

\( v_1 \cdot \frac{3}{2} = 15 \)

\( v_1 = 10 \) км/ч

Тогда \( v_2 = 3 \cdot 10 = 30 \) км/ч

Ответ: 30 км/ч

Методические рекомендации

При подготовке учащихся к решению задач на движение по окружности рекомендуется:

• Начинать с визуализации — рисовать схемы движения
• Учить переводить единицы измерения (минуты в часы и наоборот)
• Отрабатывать составление уравнений на основе анализа разности пройденных путей
• Рассматривать различные случаи — движение в одну и противоположные стороны

Использование нашего инструмента для создания заданий позволит дифференцировать подход к обучению и обеспечить каждого ученика индивидуальным набором задач для отработки навыков.