Задание 20 базового ЕГЭ: задачи на движение по воде

Задачи на движение по воде занимают важное место в базовом ЕГЭ по математике и часто встречаются в задании 20. Эти задачи требуют от учащихся понимания физической сути движения, умения работать с формулами и составлять уравнения. В этой статье мы подробно разберем методику преподавания этой темы.

Особенности задач на движение по воде

Задачи на движение по воде отличаются от обычных задач на движение тем, что скорость объекта зависит от скорости течения реки. При движении по течению скорость увеличивается, против течения — уменьшается. Это ключевой момент, который должны усвоить ученики.

Такие задачи развивают у школьников:

умение анализировать условие задачи
навык перевода текстовой информации в математические выражения
способность составлять и решать уравнения
понимание зависимости между скоростью, временем и расстоянием

Основные формулы и понятия

Для успешного решения задач на движение по воде необходимо четкое понимание следующих понятий и формул:

Собственная скорость объекта (Vс) — скорость в неподвижной воде
Скорость течения (Vт)
Скорость по течению: \( V_{по\ теч} = V_с + V_т \)
Скорость против течения: \( V_{пр\ теч} = V_с - V_т \)
Основная формула движения: \( S = v \cdot t \), где S — путь, v — скорость, t — время

Эти формулы являются фундаментом для решения всех типов задач на движение по воде. Ученики должны уметь их применять в различных ситуациях.

Методика решения задач на движение по воде

При решении задач на движение по воде рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

Внимательно прочитать условие задачи и выделить все известные величины
Определить, что требуется найти
Ввести переменные для неизвестных величин
Составить уравнение или систему уравнений на основе условия
Решить уравнение
Проверить полученный ответ на соответствие условию задачи

Особое внимание следует уделять составлению уравнений. Чаще всего используется уравнение, связывающее время движения по течению и против течения.

Математические факты и формулы для решения задач на движение по воде

Для решения задач на движение по воде, включая задачу из банка ФИПИ, необходимы следующие математические факты и формулы:

Формула связи пути, скорости и времени: \( S = v \cdot t \)
Скорость движения по течению: \( v_{по\ теч} = v_{собств} + v_{теч} \)
Скорость движения против течения: \( v_{пр\ теч} = v_{собств} - v_{теч} \)
Формула времени: \( t = \frac{S}{v} \)
Умение составлять уравнения на основе условия задачи
Навык решения линейных уравнений

Разбор задачи из банка ФИПИ

Задача

Условие: Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 7 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 12 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение:

Обозначим расстояние, которое прошел теплоход в одну сторону, как S км.

Скорость теплохода по течению: \( 7 + 1 = 8 \) км/ч

Скорость теплохода против течения: \( 7 - 1 = 6 \) км/ч

Время движения по течению: \( \frac{S}{8} \) часов

Время движения против течения: \( \frac{S}{6} \) часов

Общее время движения (без учета стоянки): \( \frac{S}{8} + \frac{S}{6} = \frac{3S}{24} + \frac{4S}{24} = \frac{7S}{24} \) часов

По условию, общее время рейса (включая стоянку) составляет 12 часов, поэтому:

\( \frac{7S}{24} + 5 = 12 \)

\( \frac{7S}{24} = 7 \)

\( 7S = 168 \)

\( S = 24 \) км

Теплоход прошел в одну сторону 24 км, а за весь рейс — 48 км.

Ответ: 48 км

Практические материалы для учителей

На нашем сайте доступны для скачивания PDF-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ по теме "Задачи на движение по воде". Эти материалы содержат задачи, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Для создания индивидуальных заданий для каждого ученика вы можете воспользоваться нашим сервисом "Конструктор индивидуальных заданий". Этот инструмент позволяет генерировать уникальные варианты задач по выбранной теме, что особенно полезно при подготовке к экзаменам и проведении проверочных работ.