Задание 20 базового ЕГЭ: задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу регулярно встречаются в задании 20 базового ЕГЭ по математике и вызывают сложности у многих учащихся. Для учителей математики важно донести до учеников универсальный алгоритм решения таких задач, который будет работать независимо от конкретных условий.

Основные понятия и формулы

Ключевым понятием в задачах на совместную работу является производительность - объем работы, выполняемой в единицу времени. Если весь объем работы принять за 1, то производительность показывает, какая часть работы выполняется за единицу времени.

Основная формула, связывающая работу, производительность и время:

\( A = p \times t \)

где \( A \) - объем работы, \( p \) - производительность, \( t \) - время.

Математические факты и формулы, необходимые для решения задач на совместную работу:

• Если первый рабочий выполняет работу за \( t_1 \) времени, его производительность равна \( \frac{1}{t_1} \)
• Если второй рабочий выполняет работу за \( t_2 \) времени, его производительность равна \( \frac{1}{t_2} \)
• Совместная производительность двух рабочих равна \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \)
• Время совместной работы вычисляется по формуле: \( t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} \)
• Общее время совместной работы: \( t = \frac{t_1 \times t_2}{t_1 + t_2} \)

Методика преподавания темы

При объяснении задач на совместную работу рекомендуется начинать с простых примеров, постепенно переходя к более сложным. Важно научить учащихся:

• Определять объем всей работы (обычно принимается за 1)
• Находить производительность каждого участника
• Складывать производительности при совместной работе
• Делить объем работы на общую производительность для нахождения времени

Для отработки навыков решения таких задач вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты для каждого ученика по теме "Задачи на совместную работу".

Примеры решения задач

Рассмотрим подробное решение нескольких типичных задач на совместную работу.

Задача 1

Один мастер может выполнить заказ за 6 часов, а другой — за 3 часа. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение:

1. Примем весь объем работы за 1.
2. Производительность первого мастера: \( \frac{1}{6} \) работы в час.
3. Производительность второго мастера: \( \frac{1}{3} \) работы в час.
4. Совместная производительность: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) работы в час.
5. Время совместной работы: \( 1 \div \frac{1}{2} = 2 \) часа.

Ответ: 2 часа.

Задача 2

Алина и Аня пропалывают грядку за 12 минут, а одна Аня — за 16 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Алина?

Решение:

1. Примем всю работу за 1.
2. Производительность Ани: \( \frac{1}{16} \) работы в минуту.
3. Совместная производительность Алины и Ани: \( \frac{1}{12} \) работы в минуту.
4. Производительность Алины: \( \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4}{48} - \frac{3}{48} = \frac{1}{48} \) работы в минуту.
5. Время работы одной Алины: \( 1 \div \frac{1}{48} = 48 \) минут.

Ответ: 48 минут.

Типичные ошибки и как их избежать

Учащиеся часто допускают ошибки при сложении и вычитании дробей, а также при нахождении обратных величин. Для предотвращения этих ошибок рекомендуется:

• Тренироваться в нахождении наименьшего общего знаменателя
• Отрабатывать навык перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно
• Проверять правдоподобность ответа (совместная работа всегда выполняется быстрее, чем работа каждого в отдельности)

Материалы для урока

На странице доступны для скачивания PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы. Задания в них аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все возможные варианты задач.

Используйте эти материалы для подготовки учащихся к заданию 20 базового ЕГЭ по математике, комбинируя их с заданиями из открытого банка ФИПИ для более полного охвата темы.