Задание 4 базового ЕГЭ: Алгебраические формулы и выражения

Четвертое задание в базовом ЕГЭ по математике проверяет знание основных алгебраических формул и умение применять их для решения практических задач. В этом материале мы систематизируем ключевые алгебраические формулы, которые встречаются в данном задании, и разберем подходы к решению характерных задач.

Основные алгебраические формулы для задания 4 ЕГЭ

В задании 4 могут встречаться различные типы алгебраических выражений и формул. Рассмотрим наиболее важные из них:

Формулы сокращенного умножения

Эти формулы являются фундаментом для преобразования алгебраических выражений:

• Квадрат суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Квадрат разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• Разность квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
• Куб суммы: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
• Куб разности: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
• Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
• Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Специальные формулы для вычислений

В задании 4 также встречаются формулы для различных вычислений:

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое трех чисел \(a\), \(b\) и \(c\) вычисляется по формуле: \(g = \sqrt[3]{a \cdot b \cdot c}\)

Сумма делителей числа

Если \(p_1\), \(p_2\) и \(p_3\) — различные простые числа, то сумма всех делителей числа \(p_1 \cdot p_2 \cdot p_3\) равна \((p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)\).

Разбор задач по алгебраическим формулам

Рассмотрим конкретные задачи, аналогичные тем, которые встречаются в задании 4 базового ЕГЭ по математике.

Задача 1. Вычисление среднего геометрического

Условие: Среднее геометрическое трёх чисел a, b и c вычисляется по формуле \(g = \sqrt[3]{a \cdot b \cdot c}\). Вычислите среднее геометрическое чисел 72, 24, 8.

Решение:

1. Подставим значения в формулу: \(g = \sqrt[3]{72 \cdot 24 \cdot 8}\)
2. Упростим выражение под корнем: \(72 \cdot 24 \cdot 8 = (8 \cdot 9) \cdot (8 \cdot 3) \cdot 8 = 8 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 8 = 8^3 \cdot 27\)
3. Заметим, что \(27 = 3^3\), поэтому: \(g = \sqrt[3]{8^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(8 \cdot 3)^3} = 8 \cdot 3 = 24\)

Ответ: 24

Задача 2. Сумма всех делителей числа

Условие: Если p₁, p₂ и p₃ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа p₁ ⋅ p₂ ⋅ p₃ равна (p₁ + 1)(p₂ + 1)(p₃ + 1). Найдите сумму всех делителей числа 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5.

Решение:

1. По условию, p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5
2. Подставим значения в формулу: (2 + 1)(3 + 1)(5 + 1) = 3 ⋅ 4 ⋅ 6 = 72
3. Проверим: делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Их сумма: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72

Ответ: 72

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач задания 4 базового ЕГЭ по математике необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Определение среднего геометрического: для n положительных чисел \(x_1, x_2, ..., x_n\) среднее геометрическое вычисляется как \(\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}\)
• Свойство корня n-й степени: \(\sqrt[n]{a^n} = a\) для любого положительного a
• Свойство произведения степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
• Формула для суммы делителей числа: если число представлено в виде произведения различных простых чисел \(p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_n^{k_n}\), то сумма всех его делителей равна \((1 + p_1 + p_1^2 + ... + p_1^{k_1}) \cdot (1 + p_2 + p_2^2 + ... + p_2^{k_2}) \cdot ... \cdot (1 + p_n + p_n^2 + ... + p_n^{k_n})\)
• Для случая, когда все показатели степеней равны 1 (число является произведением различных простых чисел), формула упрощается до \((p_1 + 1)(p_2 + 1)...(p_n + 1)\)

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 4 базового ЕГЭ по математике рекомендуется:

1. Систематически повторять основные алгебраические формулы, особенно формулы сокращенного умножения
2. Уделять внимание не только механическому запоминанию формул, но и пониманию их геометрической интерпретации
3. Тренировать навык разложения чисел на простые множители
4. Отрабатывать приемы упрощения алгебраических выражений перед вычислениями

Для отработки навыков решения задач по теме "Алгебраические формулы" вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий - сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику.

Задания для самостоятельной работы, которые предлагаются для скачивания на этой странице, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе находятся не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Регулярная отработка задач на применение алгебраических формул поможет вашим ученикам уверенно справиться с заданием 4 базового ЕГЭ по математике и успешно применять полученные знания в дальнейшем обучении.