Задание 6 базового ЕГЭ: решаем задачи на комбинации

Задачи на комбинации — это классический тип заданий, проверяющий умение систематизировать данные, анализировать возможные варианты и делать оптимальный выбор. В контексте задания 6 базового ЕГЭ по математике такие задачи часто представлены в виде работы с таблицами, где требуется подобрать набор элементов, удовлетворяющий определенным условиям по составу и стоимости. Успешное решение этих задач требует не только внимательности, но и понимания основных комбинаторных принципов.

Что такое комбинаторные задачи и как к ним подойти

В основе решения многих задач на комбинации лежит не применение сложных формул, а метод полного перебора вариантов. Однако перебор должен быть не хаотичным, а систематизированным. Это позволяет не упустить ни одного возможного варианта и не рассматривать лишние. Ученикам важно научиться выстраивать стратегию анализа условия, особенно когда в задаче присутствуют ограничивающие факторы, такие как бюджет или необходимость покрыть все требуемые элементы (языки, предметы и т.д.).

Ключевые этапы решения:

• Анализ условия: Тщательное изучение таблицы или списка данных. Выявление всех ограничений и требований.
• Выработка стратегии перебора: Определение, с каких данных начать отбор — часто эффективно начинать с элементов, которые уникально удовлетворяют часть условий.
• Систематический подбор комбинаций: Последовательное составление групп с проверкой выполнения всех условий задачи.
• Проверка на оптимальность: Сравнение подходящих вариантов между собой, если в задаче требуется найти наилучший (например, самый дешевый).

Математические факты и формулы для решения задач на комбинации

Хотя для задач, подобных разбираемой ниже, часто достаточно логического перебора, полезно знать базовые комбинаторные конфигурации:

• Число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \): \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — это количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) без учета порядка.
• Число размещений из \( n \) элементов по \( k \): \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) — количество способов выбрать и упорядочить \( k \) элементов из \( n \).
• Правило суммы: Если объект \( A \) можно выбрать \( m \) способами, а объект \( B \) — \( n \) способами, причем эти выборы несовместны, то выбрать либо \( A \), либо \( B \) можно \( m + n \) способами.
• Правило произведения: Если объект \( A \) можно выбрать \( m \) способами, и после этого объект \( B \) можно выбрать \( n \) способами, то пару \( (A, B) \) можно выбрать \( m \cdot n \) способами.

Эти формулы являются фундаментом для более сложных комбинаторных задач, однако в задании 6 базового ЕГЭ чаще требуется их интуитивное понимание, а не прямое применение.

Практикум: решаем задачу на подбор переводчиков

Рассмотрим задачу, полностью аналогичную тем, что представлены в Открытом банке заданий ФИПИ.

Задача

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Условие: Пользуясь таблицей, соберите группу, в которой переводчики вместе владеют всеми четырьмя языками: английским, немецким, испанским и французским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе запишите какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Разбор решения

1. Анализ условия и ограничений. Нам нужны все четыре языка. Бюджет — не более 12 000 руб. Группа может состоять из двух или более переводчиков.

2. Составление "языкового портрета". Выпишем, кто какими языками владеет:

• Английский: 1, 3
• Немецкий: 2, 3
• Французский: 1, 4, 5
• Испанский: 5, 6

3. Выработка стратегии. Заметим, что испанский язык знают только переводчики под номерами 5 и 6. Это отправная точка. Мы обязаны взять одного из них, иначе испанский язык не будет покрыт. Проанализируем оба случая.

Случай 1: Берем переводчика №5 (французский, испанский; 6000 руб).
После этого у нас уже есть французский и испанский. Осталось покрыть английский и немецкий.

• Если возьмем №1 (английский, французский; 5800 руб), то у нас есть английский, но нет немецкого. Немецкий можно взять, добавив №2 (только немецкий; 4050 руб). Проверяем комбинацию: 5, 1, 2. Языки: есть все. Стоимость: 6000 + 5800 + 4050 = 15850 руб. Это превышает лимит в 12000.
• Если возьмем №3 (английский, немецкий; 6850 руб), то мы сразу покрываем и английский, и немецкий. Проверяем комбинацию: 5, 3. Языки: есть все. Стоимость: 6000 + 6850 = 12850 руб. Также превышает лимит.

Случай 2: Берем переводчика №6 (испанский; 2050 руб).
У нас есть только испанский. Нужны французский, английский, немецкий. Это ключевой и более перспективный случай из-за низкой стоимости №6.

• Подслучай 2.1: Попробуем набрать оставшиеся языки минимальным количеством переводчиков. Переводчик №3 знает и английский, и немецкий. Если мы возьмем пару №6 и №3, то у нас будут языки: испанский (от №6), английский и немецкий (от №3). Не хватает только французского. Самый дешевый французский — это №4 (2900 руб). Проверяем комбинацию: 6, 3, 4. Языки: есть все. Стоимость: 2050 + 6850 + 2900 = 11800 руб. Это укладывается в бюджет 12000! Это одно из решений. Записываем, например, 346.
• Подслучай 2.2: Проверим другие комбинации. Можно взять французский и английский через №1 (5800 руб), а немецкий через №2 (4050 руб). Комбинация: 6, 1, 2. Языки: есть все. Стоимость: 2050 + 5800 + 4050 = 11900 руб. Это также укладывается в бюджет! Это второе решение. Записываем, например, 126.
• Комбинация 6, 1, 4 не подойдет, так как не будет немецкого. Комбинация 6, 2, 4 не подойдет, так как не будет английского. Комбинация из трех и более переводчиков, включающая и №1, и №3, будет избыточной по стоимости.

Ответ: 126 или 346 (и любые их перестановки, так как порядок в ответе не важен).

Как помочь ученикам освоить тему

Для эффективной подготовки учащихся к решению задач на комбинации важно дать им не только теоретическую базу, но и широкие возможности для практики. Именно для этого был создан Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет учителям математики быстро генерировать уникальные варианты задач, аналогичных представленным в Открытом банке заданий ФИПИ, для каждого ученика в классе. Вы можете создать самостоятельную или контрольную работу, сфокусированную именно на задачах подбора комбинаций, что позволит отработать этот навык до автоматизма.

Самостоятельные работы, доступные для скачивания на этой странице в формате PDF, составлены с учетом требований ЕГЭ и включают задания, полностью аналогичные задачам из Открытого банка ФИПИ, хотя и не исчерпывают его полностью. Используйте их в связке с Конструктором для максимально полного охвата темы.