Задание 14 ОГЭ: Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — одна из ключевых тем в задании 14 ОГЭ по математике, которая вызывает затруднения у многих учащихся. В этой статье мы систематизируем знания о геометрической прогрессии и рассмотрим эффективные методы подготовки школьников к экзамену.

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Если обозначить первый член прогрессии как \( b_1 \), а знаменатель как \( q \), то прогрессия будет иметь вид:

\( b_1, b_1q, b_1q^2, b_1q^3, \ldots \)

Основные формулы геометрической прогрессии

Для успешного решения задач на геометрическую прогрессию в ОГЭ необходимо уверенное владение следующими формулами:

• Формула n-го члена: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
• Формула суммы n первых членов: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \) при \( q \neq 1 \)
• Формула суммы n первых членов (альтернативный вид): \( S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \) при \( q \neq 1 \)
• Свойство трех последовательных членов: \( b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \)

Особые случаи геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Когда модуль знаменателя прогрессии меньше единицы (\( |q| < 1 \)), мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для такой прогрессии существует формула суммы всех ее членов:

\( S = \frac{b_1}{1 - q} \), где \( |q| < 1 \)

Эта формула особенно полезна при решении задач на бесконечные процессы, таких как движение мячика или радиоактивный распад.

Убывающая геометрическая прогрессия

Убывающая геометрическая прогрессия отличается от бесконечно убывающей тем, что она имеет конечное число членов. В таких прогрессиях знаменатель по модулю может быть как меньше единицы, так и больше, но последовательность ограничена по количеству элементов.

Методика решения задач на геометрическую прогрессию

При подготовке учащихся к заданию 14 ОГЭ важно выработать у них системный подход к решению задач на геометрическую прогрессию:

1. Определить известные величины (первый член, знаменатель, номер члена)
2. Выбрать подходящую формулу в зависимости от условия задачи
3. Составить уравнение или систему уравнений
4. Решить полученное уравнение
5. Проверить ответ на соответствие условию задачи

Математические факты и формулы для решения задач на геометрическую прогрессию

Для успешного решения задач на геометрическую прогрессию в ОГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \) при \( q \neq 1 \)
• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \), где \( |q| < 1 \)
• Свойство трех последовательных членов геометрической прогрессии: \( b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \)
• Понятие знаменателя геометрической прогрессии: \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \)
• Формула для нахождения номера члена прогрессии: \( n = \frac{\log\left(\frac{b_n}{b_1}\right)}{\log q} + 1 \)

Разбор задач на геометрическую прогрессию

Задача 1: Подпрыгивающий мячик

Условие: Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5.4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение:

В этой задаче мы имеем дело с геометрической прогрессией, где:

• Первый член \( b_1 = 5.4 \) м
• Знаменатель \( q = \frac{1}{3} \)
• Нам нужно найти наименьший номер n, для которого \( b_n < 0.11 \) м

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 5.4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)

Составим неравенство:

\( 5.4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.11 \)

Разделим обе части на 5.4:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{0.11}{5.4} \approx 0.02037 \)

Прологарифмируем обе части (можно использовать натуральный логарифм или логарифм по основанию 10):

\( (n-1) \cdot \ln\left(\frac{1}{3}\right) < \ln(0.02037) \)

Учитывая, что \( \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) \), получаем:

\( -(n-1) \cdot \ln(3) < \ln(0.02037) \)

Умножим обе части на -1 (при этом знак неравенства изменится):

\( (n-1) \cdot \ln(3) > -\ln(0.02037) \)

Вычислим значения логарифмов:

\( \ln(3) \approx 1.0986 \), \( -\ln(0.02037) \approx 3.893 \)

Тогда:

\( n-1 > \frac{3.893}{1.0986} \approx 3.544 \)

\( n > 4.544 \)

Так как n — натуральное число, наименьшее n, удовлетворяющее неравенству, равно 5.

Ответ: 5

Задача 2: Радиоактивный распад

Условие: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 10 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 192 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

В этой задаче мы также имеем геометрическую прогрессию, где:

• Первый член \( b_1 = 192 \) мг
• Знаменатель \( q = \frac{1}{2} \) (масса уменьшается вдвое)
• Промежуток времени 40 минут соответствует 4 периодам по 10 минут, поэтому n = 5 (начальный момент + 4 периода)

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 192 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} \)

Вычислим:

\( b_5 = 192 \cdot \frac{1}{16} = 12 \) мг

Ответ: 12

Подготовка к заданию 14 ОГЭ с помощью конструктора индивидуальных заданий

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 14 ОГЭ по теме "Геометрическая прогрессия" рекомендуем использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика, обеспечивая разнообразную практику.

Задания, создаваемые с помощью конструктора, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Это гарантирует соответствие экзаменационным требованиям и актуальность материала.

Использование конструктора индивидуальных заданий позволяет учителю:

• Создавать варианты различного уровня сложности
• Обеспечивать индивидуальный подход к каждому ученику
• Экономить время на подготовке материалов для уроков
• Контролировать усвоение темы через систему повторяющихся заданий

Заключение

Геометрическая прогрессия — важная тема в задании 14 ОГЭ по математике, требующая четкого понимания формул и свойств. Систематическая работа с различными типами задач, включая задачи на бесконечно убывающие прогрессии и задачи практического содержания, позволит учащимся успешно справиться с этим заданием на экзамене.

Используйте представленные в статье материалы, формулы и методы решения для эффективной подготовки ваших учеников к ОГЭ по математике.