Задание 16 ОГЭ: Вписанная и описанная трапеция

Задание 16 в ОГЭ по математике охватывает различные геометрические темы, среди которых особое место занимают задачи на вписанные и описанные трапеции. Эти задачи требуют глубокого понимания свойств четырехугольников и окружностей, что делает их особенно ценными для развития геометрического мышления учащихся.

Что такое вписанная и описанная трапеция

В геометрии существуют два важных типа трапеций, связанных с окружностями:

• Описанная трапеция — трапеция, вокруг которой можно описать окружность, проходящую через все ее вершины
• Вписанная трапеция — трапеция, в которую можно вписать окружность, касающуюся всех ее сторон

Эти понятия часто вызывают затруднения у учащихся, поэтому важно четко различать их и понимать соответствующие свойства.

Свойства описанной трапеции

Трапеция является описанной около окружности тогда и только тогда, когда сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон:

\( AB + CD = BC + AD \)

Для описанной трапеции также выполняются следующие важные свойства:

• Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис всех углов трапеции
• Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: \( h = 2r \)
• Площадь описанной трапеции можно вычислить по формуле: \( S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h = r(a + b) \)

Свойства вписанной трапеции

Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Для такой трапеции характерны:

• Боковые стороны равны: \( AB = CD \)
• Углы при каждом основании равны: \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle C \)
• Сумма противолежащих углов равна 180°: \( \angle A + \angle C = 180° \), \( \angle B + \angle D = 180° \)

Формулы и математические факты для решения задач

Для успешного решения задач на вписанные и описанные трапеции необходимо знать следующие математические факты и формулы:

1. Свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны
2. Формула площади трапеции: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \)
3. Формула площади через радиус вписанной окружности: \( S = p \cdot r \), где p — полупериметр
4. Свойство вписанного четырехугольника: суммы противолежащих углов равны 180°
5. Теорема Пифагора для нахождения высоты трапеции
6. Свойства равнобедренной трапеции: диагонали равны, углы при основаниях равны
7. Формула для нахождения радиуса вписанной окружности в трапецию: \( r = \frac{h}{2} \)

Практические задания для урока

Предлагаем вашему вниманию подборку задач, аналогичных заданиям из открытого банка ФИПИ. Эти задачи помогут отработать тему на уроках математики.

Задача

В четырехугольник ADZO вписана окружность, AD = 7, DZ = 10 и ZO = 39. Найдите AO.

Решение:

По свойству описанного четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны:

AD + ZO = DZ + AO

7 + 39 = 10 + AO

46 = 10 + AO

AO = 46 - 10 = 36

Ответ: 36

Методические рекомендации для учителей

При изучении темы "Вписанные и описанные трапеции" рекомендуется:

• Начать с повторения свойств вписанных и описанных четырехугольников
• Разобрать отдельно свойства равнобедренной трапеции
• Показать связь между геометрическими свойствами и алгебраическими соотношениями
• Использовать наглядные чертежи для демонстрации свойств

Для организации дифференцированного подхода в обучении вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика по теме вписанных и описанных трапеций.

На странице доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ, содержащие задачи, аналогичные тем, что встречаются в открытом банке заданий ФИПИ. Эти материалы помогут эффективно подготовить учащихся к выполнению задания 16 ОГЭ по математике.