Задание 17 ОГЭ: Элементы параллелограмма - полный разбор

Задание 17 в ОГЭ по математике проверяет знания учащихся по геометрии, и одной из ключевых тем, которая регулярно встречается в этом задании, являются элементы параллелограмма. В этой статье мы систематизируем все необходимые сведения о параллелограмме, которые помогут учителям эффективно подготовить учеников к экзамену.

Основные элементы параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Рассмотрим его основные элементы:

• Вершины — точки A, B, C, D
• Стороны — AB, BC, CD, DA
• Диагонали — AC и BD
• Углы — ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
• Высоты — перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные стороны

На чертеже параллелограмма принято обозначать известные элементы: длины сторон, величины углов, отрезки диагоналей. Это помогает визуализировать условие задачи и выбрать правильный путь решения.

Свойства параллелограмма

Для успешного решения задач на параллелограмм в задании 17 ОГЭ необходимо знать и уметь применять следующие свойства:

1. Противоположные стороны равны: \(AB = CD\), \(BC = AD\)
2. Противоположные углы равны: \(∠A = ∠C\), \(∠B = ∠D\)
3. Сумма соседних углов равна 180°: \(∠A + ∠B = 180°\), \(∠B + ∠C = 180°\) и т.д.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\)
5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: \(AC² + BD² = 2(AB² + BC²)\)

Формулы для вычисления элементов параллелограмма

При решении задач с параллелограммом часто используются следующие формулы:

• Площадь параллелограмма: \(S = a \cdot h_a\), где \(a\) — основание, \(h_a\) — высота, проведенная к этому основанию
• Площадь через стороны и угол: \(S = ab \cdot \sin α\), где \(a\) и \(b\) — смежные стороны, \(α\) — угол между ними
• Площадь через диагонали и угол между ними: \(S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin φ\), где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали, \(φ\) — угол между ними

Математические факты и формулы для решения задач на параллелограмм

Для успешного решения задач на параллелограмм в задании 17 ОГЭ необходимо знать:

1. Определение параллелограмма: четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами
2. Свойство противоположных сторон: они равны по длине
3. Свойство противоположных углов: они равны по величине
4. Свойство смежных углов: их сумма равна 180°
5. Свойство диагоналей: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6. Формула площади через основание и высоту: \(S = a \cdot h\)
7. Формула площади через стороны и угол между ними: \(S = ab \cdot \sin α\)
8. Теорема косинусов для нахождения диагоналей: \(d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos α\), \(d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos α\)
9. Свойство биссектрисы параллелограмма: она отсекает от него равнобедренный треугольник

Практические задания для урока

Предлагаем вашему вниманию задачу на элементы параллелограмма, аналогичную тем, которые встречаются в Открытом банке заданий ОГЭ ФИПИ. Эти задания вы можете использовать на уроках для отработки навыков решения задач на параллелограмм.

Задача

Диагональ прямоугольника образует угол 72° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, у которого все углы прямые. Рассмотрим прямоугольник ABCD, где AC — диагональ, образующая угол 72° со стороной AB.

В прямоугольном треугольнике ABC угол между диагональю AC и стороной AB равен 72°. Следовательно, угол между диагональю AC и стороной BC равен 90° - 72° = 18°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей. В этом треугольнике углы при основании AB равны 72° и 18° соответственно.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол между диагоналями (угол AOB) равен 180° - (72° + 18°) = 90°. Однако это тупой угол между диагоналями.

Острый угол между диагоналями будет смежным с углом AOB и равен 180° - 90° = 90°? Проверим расчеты.

В треугольнике AOB: угол OAB = 72° (по условию), угол OBA = 18° (как половина острого угла между диагональю и стороной BC). Тогда угол AOB = 180° - (72° + 18°) = 90°.

Но острый угол между диагоналями — это угол между продолжениями диагоналей? Нет, угол между диагоналями — это меньший из углов между ними. В прямоугольнике диагонали пересекаются под разными углами, которые в сумме дают 180°.

Таким образом, если один угол между диагоналями равен 90°, то другой также равен 90°. Но в прямоугольнике диагонали не обязательно пересекаются под прямым углом. Допущена ошибка в рассуждениях.

Правильное решение:

В прямоугольнике ABCD диагональ AC образует угол 72° со стороной AB. В треугольнике ABC угол BAC = 72°, угол ABC = 90°, следовательно, угол BCA = 180° - (72° + 90°) = 18°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения O делятся пополам. Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный (AO = BO), угол OAB = 72°, угол OBA = 18° (так как в треугольнике ABC угол BCA = 18°, а OB — медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике BOC).

Тогда угол AOB = 180° - (72° + 18°) = 90°. Но это тупой угол между диагоналями? Нет, в равнобедренном треугольнике AOB углы при основании AB: угол OAB = 72°, угол OBA = 72° (так как треугольник равнобедренный: AO = BO как половины равных диагоналей).

Тогда угол AOB = 180° - (72° + 72°) = 36°.

Это и есть острый угол между диагоналями прямоугольника.

Ответ: 36

Конструктор индивидуальных заданий

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 17 ОГЭ по теме "Элементы параллелограмма" рекомендуем использовать Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, учитывая его уровень подготовки и типичные ошибки.

Самостоятельные работы, созданные с помощью Конструктора, содержат задания, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ ФИПИ. Это обеспечивает целенаправленную подготовку именно к экзаменационным заданиям.

Заключение

Тема "Элементы параллелограмма" является важной составляющей подготовки к заданию 17 ОГЭ по математике. Систематическое изучение свойств и формул параллелограмма, решение разнообразных задач и использование индивидуального подхода через Конструктор заданий помогут вашим ученикам успешно справиться с этой темой на экзамене.