Задание 20 ОГЭ: решение неравенств

Задание 20 в ОГЭ по математике посвящено решению неравенств различного типа. Эта тема вызывает затруднения у многих учащихся, поэтому требует особого внимания при подготовке. В статье рассмотрены основные типы неравенств, методы их решения и предоставлены материалы для организации эффективной работы на уроках.

Основные типы неравенств в задании 20 ОГЭ

В экзаменационной работе встречаются следующие виды неравенств:

Линейные неравенства
Квадратные неравенства
Рациональные неравенства
Системы неравенств

Методы решения неравенств

Квадратные неравенства

Для решения квадратных неравенств вида \( ax^2 + bx + c > 0 \) (или с другими знаками неравенства) применяется метод интервалов. Алгоритм решения:

Найти корни квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \)
Отметить корни на числовой прямой
Определить знаки выражения на полученных интервалах
Выбрать интервалы, соответствующие знаку неравенства

Рациональные неравенства

Рациональные неравенства решаются аналогично методом интервалов, с дополнительным учетом точек, в которых знаменатель обращается в ноль.

Математические факты и формулы для решения неравенств

Для успешного решения задач задания 20 ОГЭ учащимся необходимо знать следующие математические факты и формулы:

Формулы решения квадратных уравнений: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Теорему Виета для приведенных квадратных уравнений
Свойства неравенств при умножении/делении на отрицательное число (знак неравенства меняется)
Метод интервалов для решения неравенств
Правила работы с дробно-рациональными выражениями
Свойства арифметического квадратного корня

Разбор задач на неравенства

Задача 1

Решите неравенство \( (x-12)^2 < \sqrt{20}(x-12) \).

Решение:

Перенесем все слагаемые в левую часть: \( (x-12)^2 - \sqrt{20}(x-12) < 0 \).

Вынесем общий множитель: \( (x-12)(x-12-\sqrt{20}) < 0 \).

Найдем нули выражения: \( x_1 = 12 \), \( x_2 = 12 + \sqrt{20} \).

Расставим знаки на интервалах:

При \( x < 12 \): оба множителя отрицательны, произведение положительно
При \( 12 < x < 12 + \sqrt{20} \): первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно
При \( x > 12 + \sqrt{20} \): оба множителя положительны, произведение положительно

Нас интересуют интервалы, где произведение отрицательно: \( (12; 12 + \sqrt{20}) \).

Ответ: \( (12; 12 + \sqrt{20}) \).

Задача 2

Решите неравенство \( \frac{-20}{(x-19)^2 - 8} \geq 0 \).

Решение:

Заметим, что числитель дроби отрицателен (\( -20 < 0 \)). Для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель также был отрицательным (при делении отрицательного на отрицательное получается положительное число).

Рассмотрим знаменатель: \( (x-19)^2 - 8 < 0 \).

Решим это неравенство: \( (x-19)^2 < 8 \), откуда \( -\sqrt{8} < x-19 < \sqrt{8} \), или \( 19 - 2\sqrt{2} < x < 19 + 2\sqrt{2} \).

Также учтем, что знаменатель не должен равняться нулю: \( (x-19)^2 - 8 \neq 0 \), то есть \( x \neq 19 \pm 2\sqrt{2} \).

Учитывая все условия, получаем ответ: \( (19 - 2\sqrt{2}; 19 + 2\sqrt{2}) \).

Ответ: \( (19 - 2\sqrt{2}; 19 + 2\sqrt{2}) \).

Методические материалы для учителей

Для организации эффективной подготовки учащихся к заданию 20 ОГЭ по теме "Неравенства" на нашем сайте доступны:

PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы
Конструктор индивидуальных заданий - сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме неравенств

Задания самостоятельной работы, которые предлагаются для скачивания на этой странице, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). При этом в самостоятельной работе находятся не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.