Задание 21 ОГЭ: задачи на движение по окружности

Задачи на движение по окружности занимают важное место в задании 21 ОГЭ по математике. Эти задачи требуют от учащихся понимания особенностей движения по круговой трассе и умения работать с относительными скоростями. В статье рассмотрим ключевые аспекты этой темы, которые помогут учителям эффективно подготовить учеников к экзамену.

Особенности движения по окружности

При движении по окружности появляются специфические параметры, которые не встречаются в задачах на прямолинейное движение. Основная особенность — замкнутость трассы, что приводит к понятию "кругов" и "отставания на круг".

Ключевые характеристики движения по окружности:

Длина окружности (трассы) — L
Скорость движения — v
Время прохождения одного круга — T = L/v
Количество кругов за время t — N = t/T

Основные типы задач и подходы к решению

В заданиях ОГЭ чаще всего встречаются задачи, в которых два объекта движутся по окружности в одном направлении. При этом важно понимать концепцию относительной скорости.

Если два тела движутся по окружности в одном направлении со скоростями v₁ и v₂ (где v₂ > v₁), то:

Относительная скорость: vотн = v₂ - v₁
Время между встречами: t = L/vотн
Пройденное расстояние до встречи: S = v₁·t и S = v₂·t

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на движение по окружности учащимся необходимо знать следующие математические факты и формулы:

Формула скорости: \( v = \frac{S}{t} \)
Формула времени: \( t = \frac{S}{v} \)
Формула пути: \( S = v \cdot t \)
При движении в одном направлении по окружности относительная скорость равна разности скоростей: \( v_{отн} = |v_1 - v_2| \)
При движении в противоположных направлениях относительная скорость равна сумме скоростей: \( v_{отн} = v_1 + v_2 \)
Время до встречи при движении в одном направлении: \( t = \frac{L}{v_2 - v_1} \), где L — длина круга
Время до встречи при движении в противоположных направлениях: \( t = \frac{L}{v_1 + v_2} \)
Расстояние, которое проходит тело за время t: \( S = v \cdot t \)
Количество кругов, пройденных телом: \( N = \frac{S}{L} = \frac{v \cdot t}{L} \)
Разность пройденных расстояний двумя телами: \( \Delta S = |S_1 - S_2| = |v_1 - v_2| \cdot t \)

Практические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на движение по окружности рекомендуется:

Начинать с простых задач на понимание основных понятий
Отрабатывать перевод единиц измерения (минуты в часы, км/ч в м/с)
Учить учащихся составлять уравнения на основе анализа условия задачи
Использовать графические методы для визуализации условий

Для отработки навыков решения задач на движение по окружности вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика с автоматической проверкой ответов.

Разбор задачи

Задача

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.

Решение:

Обозначим скорость первого бегуна как \( v \) км/ч, тогда скорость второго — \( v + 6 \) км/ч.

За 1 час первый бегун пробежал \( v \) км. По условию, ему осталось пробежать 3 км до конца круга, значит длина круга составляет \( v + 3 \) км.

Второй бегун пробежал первый круг за \( \frac{v+3}{v+6} \) часа. По условию, это произошло 20 минут (1/3 часа) назад, то есть он закончил первый круг за \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) часа.

Составим уравнение:

\( \frac{v+3}{v+6} = \frac{2}{3} \)

Решаем уравнение:

\( 3(v+3) = 2(v+6) \)

\( 3v + 9 = 2v + 12 \)

\( 3v - 2v = 12 - 9 \)

\( v = 3 \)

Ответ: скорость первого бегуна 3 км/ч.

Методические материалы

На странице доступны для скачивания задания для самостоятельной работы по теме "Движение по окружности". Эти задания аналогичны задачам из открытого банка заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все возможные варианты задач.

Для более эффективной подготовки рекомендуется комбинировать использование материалов ФИПИ с заданиями, созданными в нашем Конструкторе индивидуальных заданий, что позволяет адаптировать уровень сложности под конкретного ученика и отработать именно те типы задач, которые вызывают наибольшие трудности.