Задание 21 ОГЭ: Решение задач на среднюю скорость

Задачи на вычисление средней скорости движения регулярно встречаются в задании 21 ОГЭ по математике. Эти задачи требуют от учащихся понимания физической сути понятия "средняя скорость" и умения применять соответствующие математические формулы. В статье разберем теоретические основы и практические подходы к решению таких задач.

Что такое средняя скорость и как ее вычислять

Средняя скорость движения — это величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени движения. Формула для вычисления средней скорости выглядит следующим образом:

\( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} \)

где \( v_{ср} \) — средняя скорость, \( S_{общ} \) — общий пройденный путь, \( t_{общ} \) — общее время движения.

Важно понимать, что средняя скорость не является средним арифметическим значений скоростей на различных участках пути, если время движения на этих участках различно. Это распространенная ошибка, которую допускают многие ученики.

Типичные ситуации в задачах на среднюю скорость

В заданиях ОГЭ обычно встречаются несколько типов задач на среднюю скорость:

• Движение с разной скоростью на разных участках пути
• Движение с постоянной скоростью на отдельных этапах
• Задачи, где известны расстояния и скорости на участках
• Задачи, где известны времена движения и скорости на участках

Математические факты и формулы для решения задач на среднюю скорость

Для успешного решения задач на среднюю скорость необходимо знать и уметь применять следующие математические факты и формулы:

1. Формула средней скорости: \( v_{ср} = \frac{S_1 + S_2 + ... + S_n}{t_1 + t_2 + ... + t_n} \)
2. Формула пути: \( S = v \cdot t \)
3. Формула времени: \( t = \frac{S}{v} \)
4. Если путь делится на две равные части, и на каждой из них скорость постоянна, то средняя скорость вычисляется по формуле: \( v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \)
5. Если время движения на участках одинаково, то средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей на этих участках

Разбор конкретных задач

Задача 1

Первые 134 км автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, следующие 216 км — со скоростью 54 км/ч, а затем 146 км — со скоростью 73 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для нахождения средней скорости необходимо найти общий путь и общее время движения.

Общий путь: \( S_{общ} = 134 + 216 + 146 = 496 \) км

Время на первом участке: \( t_1 = \frac{134}{67} = 2 \) часа

Время на втором участке: \( t_2 = \frac{216}{54} = 4 \) часа

Время на третьем участке: \( t_3 = \frac{146}{73} = 2 \) часа

Общее время: \( t_{общ} = 2 + 4 + 2 = 8 \) часов

Средняя скорость: \( v_{ср} = \frac{496}{8} = 62 \) км/ч

Ответ: 62 км/ч

Задача 2

Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 63 км/ч, а вторую – со скоростью 72 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

В этой задаче путь делится на две равные части. Для такой ситуации существует специальная формула:

\( v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \)

Подставляем значения: \( v_{ср} = \frac{2 \cdot 63 \cdot 72}{63 + 72} = \frac{9072}{135} = 67,2 \) км/ч

Можно решить эту задачу и общим методом. Предположим, что половина трассы составляет S км. Тогда:

Общий путь: \( 2S \) км

Время на первой половине: \( t_1 = \frac{S}{63} \) часов

Время на второй половине: \( t_2 = \frac{S}{72} \) часов

Общее время: \( t_{общ} = \frac{S}{63} + \frac{S}{72} = S \cdot \frac{8 + 7}{504} = \frac{15S}{504} \) часов

Средняя скорость: \( v_{ср} = \frac{2S}{\frac{15S}{504}} = \frac{2 \cdot 504}{15} = \frac{1008}{15} = 67,2 \) км/ч

Ответ: 67,2 км/ч

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на среднюю скорость в задании 21 ОГЭ по математике рекомендуется:

• Разбирать физический смысл средней скорости, подчеркивая, что это не среднее арифметическое
• Уделять внимание преобразованию единиц измерения (км/ч в м/с и обратно)
• Тренировать навык работы с формулами пути, скорости и времени
• Рассматривать различные типы задач на среднюю скорость
• Обращать внимание на типичные ошибки учащихся

Для отработки навыков решения задач на среднюю скорость вы можете использовать генератор индивидуальных заданий, который позволяет создавать разноуровневые задачи для каждого ученика.

Предлагаемые на нашем сайте материалы для самостоятельной работы содержат задачи, аналогичные тем, что находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). С помощью конструктора индивидуальных заданий можно формировать все аналоги задач из Открытого банка ФИПИ по теме "Средняя скорость".

Заключение

Задачи на среднюю скорость в задании 21 ОГЭ по математике проверяют умение учащихся работать с формулами, анализировать условие задачи и применять математические знания в практических ситуациях. Понимание физического смысла средней скорости и владение методикой ее вычисления помогут ученикам успешно справиться с такими заданиями на экзамене.