Задание 21 ОГЭ: задачи на движение по прямой

Задачи на движение по прямой занимают важное место в задании 21 ОГЭ по математике. Эти задачи проверяют умение учащихся работать с формулами, составлять уравнения и решать текстовые задачи. Для учителей математики особенно важно научить школьников системному подходу к решению таких задач.

Основные понятия и формулы

При решении задач на движение по прямой используются три основные величины:

• Расстояние (S) - пройденный путь
• Скорость (v) - быстрота движения
• Время (t) - продолжительность движения

Основная формула, связывающая эти величины: \( S = v \cdot t \)

Из этой формулы можно выразить другие величины:

• \( v = \frac{S}{t} \)
• \( t = \frac{S}{v} \)

Типы задач на движение по прямой

В задании 21 ОГЭ встречаются различные типы задач на движение:

• Движение навстречу друг другу
• Движение в одном направлении
• Движение с остановками
• Движение с изменением скорости

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на движение по прямой необходимо знать следующие математические факты:

1. Основная формула пути: \( S = v \cdot t \)
2. Формула скорости при равномерном движении: \( v = \frac{S}{t} \)
3. Формула времени: \( t = \frac{S}{v} \)
4. При движении навстречу друг другу скорости складываются: \( v_{сближения} = v_1 + v_2 \)
5. При движении в одном направлении скорость сближения/удаления равна разности скоростей: \( v_{сближения} = |v_1 - v_2| \)
6. При решении задач с остановками необходимо учитывать, что во время остановки движение не происходит
7. При изменении скорости на определенную величину новая скорость вычисляется как \( v_{новая} = v_{старая} + \Delta v \)
8. При составлении уравнений важно следить за согласованностью единиц измерения (время в часах, скорость в км/ч, расстояние в км)

Примеры решения задач

Задача 1

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 3 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Решение:

Обозначим скорость велосипедиста на пути из A в B как \( x \) км/ч. Тогда:

• Время на путь из A в B: \( t_1 = \frac{108}{x} \) часов
• Скорость на обратном пути: \( x + 3 \) км/ч
• Время движения на обратном пути: \( \frac{108}{x+3} \) часов
• Общее время на обратный путь с учетом остановки: \( \frac{108}{x+3} + 3 \) часов

По условию время на оба пути одинаково:

\( \frac{108}{x} = \frac{108}{x+3} + 3 \)

Решим это уравнение:

\( \frac{108}{x} - \frac{108}{x+3} = 3 \)

\( 108 \cdot \frac{(x+3) - x}{x(x+3)} = 3 \)

\( 108 \cdot \frac{3}{x(x+3)} = 3 \)

\( \frac{324}{x(x+3)} = 3 \)

\( 324 = 3x(x+3) \)

\( 108 = x(x+3) \)

\( x^2 + 3x - 108 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \)

\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-3 \pm 21}{2} \)

\( x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( x_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \) (не подходит по смыслу)

Ответ: 9 км/ч

Задача 2

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 12 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 279 км, скорость первого велосипедиста равна 30 км/ч, скорость второго — 15 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение:

Переведем 12 минут в часы: 12 мин = \( \frac{12}{60} = 0,2 \) часа

Обозначим:

• Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи: \( x \) км
• Расстояние, которое проехал первый велосипедист: \( 279 - x \) км

Время в пути второго велосипедиста: \( t_2 = \frac{x}{15} \) часов

Время в пути первого велосипедиста (без учета остановки): \( t_1 = \frac{279 - x}{30} \) часов

С учетом остановки первый велосипедист был в пути: \( \frac{279 - x}{30} + 0,2 \) часов

Так как велосипедисты выехали одновременно и встретились, то время в пути до встречи одинаково:

\( \frac{x}{15} = \frac{279 - x}{30} + 0,2 \)

Решим это уравнение:

Умножим обе части на 30:

\( 2x = 279 - x + 6 \)

\( 2x + x = 279 + 6 \)

\( 3x = 285 \)

\( x = 95 \)

Ответ: 95 км

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 21 ОГЭ по теме "Задачи на движение по прямой" рекомендуется:

• Научить учащихся правильно обозначать неизвестные величины
• Тренировать составление уравнений на основе условия задачи
• Обращать внимание на согласованность единиц измерения
• Разбирать различные типы задач на движение
• Использовать графические методы для визуализации условий задач

Для отработки навыков решения задач на движение по прямой вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные задания для каждого ученика с различными параметрами.

Также на странице доступны материалы для самостоятельной работы в формате PDF. Задания в этих материалах аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Успешное решение задач на движение по прямой требует не только знания формул, но и умения анализировать условие, выделять ключевую информацию и составлять математическую модель ситуации. Регулярная практика с различными типами задач поможет учащимся уверенно справиться с заданием 21 ОГЭ.