Задание 21 ОГЭ: задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде занимают важное место в задании 21 ОГЭ по математике. Эти задачи требуют от учащихся понимания физической сути процессов движения и умения работать с математическими моделями реальных ситуаций.

Особенности задач на движение по воде

В отличие от обычных задач на движение, здесь появляется дополнительный параметр — скорость течения реки. Это существенно усложняет математическую модель и требует от учащихся более глубокого анализа условий задачи.

Основные понятия, которые необходимо усвоить:

• Собственная скорость — скорость объекта в стоячей воде
• Скорость течения — скорость движения воды в реке
• Скорость по течению — сумма собственной скорости и скорости течения
• Скорость против течения — разность собственной скорости и скорости течения

Математические формулы и факты

Для успешного решения задач на движение по воде необходимо знать следующие формулы:

• Скорость по течению: \( v_{по} = v_{соб} + v_{теч} \)
• Скорость против течения: \( v_{пр} = v_{соб} - v_{теч} \)
• Время движения: \( t = \frac{S}{v} \)
• Формула пути: \( S = v \cdot t \)

При составлении уравнений важно учитывать, что время движения по течению и против течения складывается в общее время пути. Также следует обращать внимание на то, движется ли объект все время самостоятельно или часть пути его несет течение (как в случае с плотом).

Практическое применение в обучении

Задачи на движение по воде развивают у учащихся навыки:

• Анализа текстовых условий и выделения ключевых параметров
• Составления математических моделей реальных процессов
• Работы с системами уравнений
• Проверки адекватности полученных результатов

Для эффективной подготовки к заданию 21 ОГЭ рекомендуем использовать Конструктор индивидуальных заданий — специальный сервис для учителей математики, позволяющий генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика по теме "Движение по воде".

Предлагаемые для скачивания задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Разбор конкретных задач

Задача 1

Баржа прошла по течению реки 104 км и, повернув обратно, прошла ещё 100 км, затратив на весь путь 9 ч. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость баржи как \( x \) км/ч. Тогда:

• Скорость по течению: \( x + 3 \) км/ч
• Скорость против течения: \( x - 3 \) км/ч
• Время по течению: \( \frac{104}{x + 3} \) ч
• Время против течения: \( \frac{100}{x - 3} \) ч

Составим уравнение на основе условия о общем времени:

\( \frac{104}{x + 3} + \frac{100}{x - 3} = 9 \)

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

\( 104(x - 3) + 100(x + 3) = 9(x + 3)(x - 3) \)

\( 104x - 312 + 100x + 300 = 9(x^2 - 9) \)

\( 204x - 12 = 9x^2 - 81 \)

\( 9x^2 - 204x - 69 = 0 \)

\( 3x^2 - 68x - 23 = 0 \)

Решив квадратное уравнение, получаем \( x = 23 \) км/ч (отрицательный корень не имеет физического смысла).

Ответ: 23 км/ч

Задача 2

Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 80 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость лодки как \( x \) км/ч. Тогда:

• Скорость лодки по течению: \( x + 4 \) км/ч
• Скорость лодки против течения: \( x - 4 \) км/ч
• Скорость плота равна скорости течения: 4 км/ч

Плот был в пути \( \frac{80}{4} = 20 \) часов. Лодка вышла на 4 часа позже, значит, она была в пути 16 часов.

Составим уравнение времени движения лодки:

\( \frac{120}{x + 4} + \frac{120}{x - 4} = 16 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( 120(x - 4) + 120(x + 4) = 16(x + 4)(x - 4) \)

\( 120x - 480 + 120x + 480 = 16(x^2 - 16) \)

\( 240x = 16x^2 - 256 \)

\( 16x^2 - 240x - 256 = 0 \)

\( x^2 - 15x - 16 = 0 \)

Решив квадратное уравнение, получаем \( x = 16 \) км/ч (отрицательный корень не имеет физического смысла).

Ответ: 16 км/ч

Методические рекомендации

При обучении решению задач на движение по воде важно:

• Начинать с простых задач, постепенно переходя к более сложным
• Уделять внимание анализу условия и составлению математической модели
• Учить проверять полученные результаты на адекватность
• Рассматривать различные способы решения одной и той же задачи

Использование Конструктора индивидуальных заданий позволяет учителю быстро создавать варианты задач разного уровня сложности, что особенно ценно при дифференцированном подходе к обучению.

Помните, что задачи на движение по воде в ОГЭ проверяют не только вычислительные навыки, но и умение анализировать, моделировать и интерпретировать результаты, что составляет основу математической грамотности учащихся.