Задание 21 ОГЭ: задачи на работу

Текстовые задачи на работу занимают важное место в задании 21 ОГЭ по математике. Эти задачи проверяют умение учащихся работать с производительностью, временем выполнения работы и объёмом работы. Для учителей математики особенно ценны методические материалы, которые помогают объяснить эту тему школьникам.

Основные понятия и формулы

При решении задач на работу используются три взаимосвязанные величины:

• A - объём выполненной работы
• t - время работы
• P - производительность (работа в единицу времени)

Основная формула, связывающая эти величины: \( A = P \times t \)

Если всю работу принять за 1, то производительность будет равна \( P = \frac{1}{t} \), а время \( t = \frac{1}{P} \).

Особенности задач на совместную работу

Когда несколько рабочих (труб, насосов и т.д.) работают вместе, их производительности складываются. Если первый рабочий выполняет работу за \( t_1 \) часов, а второй - за \( t_2 \) часов, то их совместная производительность равна:

\( P = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \)

Соответственно, время совместной работы: \( t = \frac{1}{P} = \frac{t_1 \times t_2}{t_1 + t_2} \)

Типичные ошибки и сложности

Учащиеся часто путаются в задачах на работу, особенно когда:

• Производительность выражена неявно
• Работа выполняется последовательно, а не одновременно
• Часть работы уже выполнена до начала совместной работы
• Производительность меняется в процессе работы

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на работу в задании 21 ОГЭ необходимо знать:

1. Формулу связи работы, времени и производительности: \( A = P \times t \)
2. Если всю работу принять за единицу, то \( P = \frac{1}{t} \)
3. При совместной работе производительности складываются
4. Уравнение \( \frac{A}{P_1} - \frac{A}{P_2} = \Delta t \), где \( \Delta t \) - разница во времени выполнения работы
5. Квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) и формула его решения
6. Отрицательные корни квадратного уравнения не имеют физического смысла в задачах на работу

Примеры решения задач

Задача 1

Первый рабочий за час делает на 11 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 264 деталей, на 12 часов быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

Пусть второй рабочий делает \( x \) деталей в час, тогда первый делает \( x+11 \) деталей в час.

Время работы первого рабочего: \( \frac{264}{x+11} \) часов

Время работы второго рабочего: \( \frac{264}{x} \) часов

По условию: \( \frac{264}{x} - \frac{264}{x+11} = 12 \)

Упростим уравнение: \( 264 \cdot \frac{(x+11) - x}{x(x+11)} = 12 \)

\( 264 \cdot \frac{11}{x(x+11)} = 12 \)

\( \frac{2904}{x(x+11)} = 12 \)

\( 12x(x+11) = 2904 \)

\( x(x+11) = 242 \)

\( x^2 + 11x - 242 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 121 + 968 = 1089 \)

\( x = \frac{-11 \pm 33}{2} \)

\( x_1 = 11 \), \( x_2 = -22 \) (не подходит по смыслу)

Ответ: второй рабочий делает 11 деталей в час.

Задача 2

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 110 литров она заполняет на 11 минут быстрее, чем первая труба?

Решение:

Пусть вторая труба пропускает \( x \) литров в минуту, тогда первая пропускает \( x-5 \) литров в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой: \( \frac{110}{x} \) минут

Время заполнения резервуара первой трубой: \( \frac{110}{x-5} \) минут

По условию: \( \frac{110}{x-5} - \frac{110}{x} = 11 \)

Упростим уравнение: \( 110 \cdot \frac{x - (x-5)}{x(x-5)} = 11 \)

\( 110 \cdot \frac{5}{x(x-5)} = 11 \)

\( \frac{550}{x(x-5)} = 11 \)

\( 11x(x-5) = 550 \)

\( x(x-5) = 50 \)

\( x^2 - 5x - 50 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 25 + 200 = 225 \)

\( x = \frac{5 \pm 15}{2} \)

\( x_1 = 10 \), \( x_2 = -5 \) (не подходит по смыслу)

Ответ: вторая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 21 ОГЭ по теме "Задачи на работу" рекомендуется:

• Начинать с простых задач на прямую пропорциональность
• Постепенно переходить к задачам с совместной работой
• Уделять внимание анализу условия и составлению уравнений
• Тренировать проверку полученных ответов на адекватность

Для отработки навыков решения задач на работу вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика.

Дополнительные материалы

На странице доступны для скачивания PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы. Эти задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все возможные варианты задач.

Учителя математики могут использовать эти материалы для подготовки уроков, контрольных работ и дополнительных занятий с учащимися 9 классов.