Задание 22 ОГЭ: Графики функций и гипербола

Задание 22 в ОГЭ по математике представляет собой задачу на построение графиков функций и их исследование. Особое место среди этих заданий занимают графики дробно-линейных функций, среди которых гипербола является одним из наиболее сложных для понимания учащихся объектов.

Что такое гипербола и ее основные свойства

Гипербола — это график функции вида \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \neq 0 \). В более общем случае гипербола может быть представлена как \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), где \( c \neq 0 \) и \( ad \neq bc \).

Основные характеристики гиперболы:

• Состоит из двух отдельных ветвей
• Имеет две асимптоты: вертикальную и горизонтальную
• Область определения: все действительные числа, кроме точки разрыва
• Область значений зависит от конкретного вида функции

Математические факты и формулы для решения задач с гиперболой

Для успешного решения заданий с гиперболой в ОГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

1. Функция \( y = \frac{k}{x} \) имеет вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = 0
2. Для функции \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) вертикальная асимптота находится при \( x = -\frac{d}{c} \), горизонтальная — при \( y = \frac{a}{c} \)
3. Точки пересечения с осями координат: с осью OX — при y = 0, с осью OY — при x = 0
4. Для определения общих точек графика с прямой необходимо решить систему уравнений
5. При построении графика важно определить область определения и значения функции в характерных точках
6. График гиперболы симметричен относительно точки пересечения асимптот

Практическое применение знаний о гиперболе в ОГЭ

В заданиях ОГЭ с гиперболой часто требуется:

• Построить график функции
• Определить, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком определенное количество общих точек
• Найти координаты точек пересечения с осями
• Определить область определения и область значений функции

Для эффективной подготовки учащихся к таким заданиям полезно использовать Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать разнообразные задачи на построение графиков функций, в том числе гиперболы, с различными параметрами.

Разбор конкретных задач

Задача 1

Постройте график функции \( y = -5 + \frac{x + 1}{x^2 + x} \) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Решение:

Сначала упростим выражение функции. Заметим, что знаменатель можно разложить на множители: \( x^2 + x = x(x + 1) \). Тогда:

\( y = -5 + \frac{x + 1}{x(x + 1)} = -5 + \frac{1}{x} \), при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq -1 \).

Таким образом, получаем функцию \( y = \frac{1}{x} - 5 \), которая представляет собой гиперболу \( y = \frac{1}{x} \), смещенную на 5 единиц вниз.

График имеет вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = -5.

Прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком, если она параллельна горизонтальной асимптоте и не пересекает ветви гиперболы. В данном случае это происходит при m = -5 (горизонтальная асимптота) и m = -6 (значение функции в точке разрыва x = -1).

Ответ: m = -5; m = -6.

Задача 2

Постройте график функции \( y = \frac{2x - 13}{2x^2 - 13x} \) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим выражение функции. Разложим знаменатель на множители: \( 2x^2 - 13x = x(2x - 13) \). Тогда:

\( y = \frac{2x - 13}{x(2x - 13)} = \frac{1}{x} \), при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{13}{2} \).

Получаем функцию \( y = \frac{1}{x} \) — классическую гиперболу.

Прямая y = kx будет иметь с графиком ровно одну общую точку, если система уравнений

\( \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ y = kx \end{cases} \)

имеет ровно одно решение. Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

\( kx = \frac{1}{x} \)

\( kx^2 = 1 \)

\( x^2 = \frac{1}{k} \)

Это уравнение имеет ровно одно решение, когда \( \frac{1}{k} = 0 \), что невозможно, или когда одно из решений попадает в точку разрыва. В нашем случае точки разрыва: x = 0 и x = 6.5.

При x = 0 уравнение не определено. При x = 6.5 получаем:

\( k \cdot (6.5)^2 = 1 \)

\( k \cdot 42.25 = 1 \)

\( k = \frac{1}{42.25} = \frac{4}{169} \)

Ответ: \( k = \frac{4}{169} \).

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 22 ОГЭ с гиперболой рекомендуется:

1. Начинать с простейшей гиперболы \( y = \frac{1}{x} \) и постепенно усложнять задания
2. Уделять внимание определению области определения и точек разрыва
3. Тренировать навыки преобразования дробно-линейных функций к каноническому виду
4. Использовать графические методы для определения количества общих точек

Предлагаемые на этой странице задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все возможные варианты задач.

Для создания разнообразных заданий по теме "Гипербола" рекомендуем воспользоваться Конструктором индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные задачи для каждого ученика с различными параметрами функций.