Задание 22 ОГЭ: построение графика гиперболы с модулем

Задание 22 в ОГЭ по математике представляет собой задачу на построение графиков функций различной сложности. Особое место среди них занимают функции, содержащие модуль, в частности — гиперболические функции с модулем. Эта тема вызывает затруднения у многих учащихся, поэтому требует особого внимания при подготовке.

Что такое гипербола и как модуль влияет на её график

Гипербола — это график функции вида \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \neq 0 \). Модуль, применённый к аргументу или ко всей функции, существенно изменяет её график. Рассмотрим основные случаи:

Функция \( y = \frac{k}{|x|} \) — симметрична относительно оси ординат
Функция \( y = \left| \frac{k}{x} \right| \) — располагается только в верхней полуплоскости
Функции с модулем в комбинации с линейными слагаемыми — требуют поэтапного построения

Методика построения графиков гиперболы с модулем

Для успешного выполнения задания 22 ОГЭ учащимся необходимо освоить алгоритм построения таких графиков:

Найти область определения функции
Определить точки разрыва и асимптоты
Выявить интервалы знакопостоянства подмодульных выражений
Раскрыть модули на каждом интервале
Построить соответствующие части графика
Объединить полученные фрагменты в единый график

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на построение графиков гиперболы с модулем необходимы следующие знания:

Определение модуля: \( |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases} \)
Свойства гиперболической функции \( y = \frac{k}{x} \):
- Область определения: \( x \neq 0 \)
- Область значений: \( y \neq 0 \)
- Асимптоты: оси координат
- График — две ветви, расположенные в I и III четвертях при \( k > 0 \) и во II и IV четвертях при \( k < 0 \)
Свойства функции \( y = \frac{k}{|x|} \):
- Область определения: \( x \neq 0 \)
- Область значений: \( y > 0 \) при \( k > 0 \), \( y < 0 \) при \( k < 0 \)
- График симметричен относительно оси Oy
Свойства функции \( y = \left| \frac{k}{x} \right| \):
- Область определения: \( x \neq 0 \)
- Область значений: \( y \geq 0 \)
- График расположен в верхней полуплоскости
Метод интервалов для раскрытия модулей
Понятие асимптот: вертикальных (\( x = a \)) и горизонтальных (\( y = b \))

Разбор конкретных задач

Задача 1

Постройте график функции \( y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{6} - \frac{6}{x} \right| + \frac{x}{6} + \frac{6}{x} \right) \) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Проанализируем функцию. Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

Случай 1: \( \frac{x}{6} - \frac{6}{x} \geq 0 \)

Это неравенство выполняется при \( x \in (-\infty; -6] \cup (0; 6] \). В этом случае модуль раскрывается без изменения знака:

\( y = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{x}{6} - \frac{6}{x} \right) + \frac{x}{6} + \frac{6}{x} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{6} = \frac{x}{6} \)

Случай 2: \( \frac{x}{6} - \frac{6}{x} < 0 \)

Это неравенство выполняется при \( x \in (-6; 0) \cup (6; +\infty) \). В этом случае модуль раскрывается с противоположным знаком:

\( y = \frac{1}{2} \left( -\left( \frac{x}{6} - \frac{6}{x} \right) + \frac{x}{6} + \frac{6}{x} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{x} = \frac{6}{x} \)

Таким образом, функция приобретает кусочно-заданный вид:

\( y = \begin{cases} \frac{x}{6}, & \text{если } x \in (-\infty; -6] \cup (0; 6] \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x \in (-6; 0) \cup (6; +\infty) \end{cases} \)

Строим график, учитывая полученные выражения. Прямая y = m будет иметь с графиком ровно одну общую точку в двух случаях: когда она касается крайних точек разрыва или проходит через особые точки графика.

Анализируя график, находим, что это происходит при m = -1 и m = 1.

Ответ: m = -1; m = 1

Задача 2

Постройте график функции \( y = \frac{6|x| - 7}{7|x| - 6x^2} \) и определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Упростим выражение, учитывая, что \( |x|^2 = x^2 \):

\( y = \frac{6|x| - 7}{7|x| - 6x^2} = \frac{6|x| - 7}{7|x| - 6|x|^2} = \frac{6|x| - 7}{|x|(7 - 6|x|)} \)

Заметим, что знаменатель можно разложить на множители. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \)

\( y = \frac{6x - 7}{x(7 - 6x)} = -\frac{6x - 7}{x(6x - 7)} \)

При \( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{7}{6} \) получаем: \( y = -\frac{1}{x} \)

Случай 2: \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \)

\( y = \frac{6(-x) - 7}{(-x)(7 - 6(-x))} = \frac{-6x - 7}{-x(7 + 6x)} = \frac{6x + 7}{x(6x + 7)} \)

При \( x \neq 0 \) и \( x \neq -\frac{7}{6} \) получаем: \( y = \frac{1}{x} \)

Таким образом, график функции состоит из двух гипербол: \( y = -\frac{1}{x} \) при \( x > 0 \) и \( y = \frac{1}{x} \) при \( x < 0 \), с выколотыми точками.

Прямая y = kx не будет иметь общих точек с графиком, если система уравнений не имеет решений:

\( \begin{cases} y = kx \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} \) для \( x < 0 \) и \( \begin{cases} y = kx \\ y = -\frac{1}{x} \end{cases} \) для \( x > 0 \)

Решая системы, находим, что общих точек не будет при \( k = \pm \frac{36}{49} \) и \( k = 0 \).

Ответ: \( k = \pm \frac{36}{49}; k = 0 \)

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 22 ОГЭ по теме "Гипербола с модулем" рекомендуется:

Начинать с повторения свойств простейших функций и преобразований графиков
Отрабатывать технику раскрытия модуля на различных интервалах
Уделять внимание аналитическим методам исследования функций
Использовать геометрическую интерпретацию модуля как расстояния

Для отработки навыков построения графиков гиперболы с модулем вы можете использовать Конструктор индивидуальных заданий — специальный сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по этой теме.

Также на странице доступны задания для самостоятельной работы, которые аналогичны задачам из открытого банка заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Заключение

Освоение построения графиков гиперболических функций с модулем требует системного подхода и последовательной отработки навыков. Представленные в статье методические материалы и разбор задач помогут учителям эффективно подготовить учащихся к успешному выполнению задания 22 ОГЭ по математике.