Задание 22 ОГЭ: График квадратичной функции с модулем

Задание 22 в ОГЭ по математике часто связано с построением графиков функций, и одной из наиболее интересных тем здесь являются квадратичные функции с модулем. Эта тема требует не только знания основных свойств функций, но и понимания геометрических преобразований графиков.

Что такое квадратичная функция с модулем?

Квадратичная функция с модулем — это функция вида \( y = |ax^2 + bx + c| \) или \( y = a|x|^2 + b|x| + c \). В задании 22 ОГЭ чаще встречается первый вариант, где модуль применяется ко всей квадратичной функции.

Основная особенность таких функций заключается в том, что они сохраняют неотрицательные значения исходной квадратичной функции, а отрицательные значения отражают относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения графика квадратичной функции с модулем

Для успешного выполнения задания 22 ОГЭ учащимся необходимо освоить четкий алгоритм построения:

1. Построить график исходной квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \)
2. Определить точки пересечения графика с осью OX (нули функции)
3. Части графика, расположенные ниже оси OX, отразить симметрично относительно этой оси
4. Части графика выше оси OX остаются без изменений

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на построение графиков квадратичных функций с модулем необходимы следующие знания:

• Свойства модуля: \( |a| = a \) при \( a ≥ 0 \) и \( |a| = -a \) при \( a < 0 \)
• Формула квадратичной функции: \( y = ax^2 + bx + c \)
• Координаты вершины параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), \( y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c \)
• Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)
• Связь дискриминанта с количеством нулей функции
• Геометрические преобразования графиков: симметрия относительно осей координат

Практическое применение в преподавании

При изучении темы "Квадратичная функция с модулем" в рамках подготовки к заданию 22 ОГЭ важно уделить внимание не только алгоритмам построения, но и пониманию геометрического смысла преобразований. Учащиеся должны осознавать, почему график функции \( y = |f(x)| \) всегда находится в верхней полуплоскости.

Для отработки навыков построения таких графиков можно использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты упражнений для каждого ученика. Это особенно полезно при подготовке к ОГЭ, когда важно обеспечить разнообразную практику.

Задачи для самостоятельного решения

Предлагаемые ниже задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Задача 1

Постройте график функции \( y = |x^2 - 9| \). Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

1. Сначала построим график функции \( y = x^2 - 9 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке (0; -9), пересекает ось OX в точках x = -3 и x = 3.

2. Применим модуль ко всей функции: все части графика, находящиеся ниже оси OX, отражаем симметрично относительно этой оси.

3. Получаем график, который состоит из части исходной параболы (при \( x ≤ -3 \) и \( x ≥ 3 \)) и отраженной части (при \( -3 ≤ x ≤ 3 \)).

4. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересекать полученный график в 0, 2, 3 или 4 точках в зависимости от своего положения.

5. Наибольшее число общих точек — 4, когда прямая проходит выше вершины отраженной части, но ниже "вершин" крайних частей параболы.

Ответ: 4

Задача 2

Постройте график функции \( y = |x^2 + 13x + 40| \). Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

1. Построим график функции \( y = x^2 + 13x + 40 \). Найдем нули функции: \( x^2 + 13x + 40 = 0 \), дискриминант D = 169 - 160 = 9, корни: \( x_1 = -5 \), \( x_2 = -8 \).

2. Вершина параболы имеет координаты: \( x_0 = -\frac{13}{2} = -6.5 \), \( y_0 = (-6.5)^2 + 13·(-6.5) + 40 = 42.25 - 84.5 + 40 = -2.25 \).

3. Применяем модуль: отражаем часть параболы между точками x = -8 и x = -5 относительно оси OX.

4. Полученный график состоит из трех частей: левой ветви исходной параболы (при \( x ≤ -8 \)), отраженной средней части (при \( -8 ≤ x ≤ -5 \)) и правой ветви исходной параболы (при \( x ≥ -5 \)).

5. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересекать график в 0, 2, 3 или 4 точках. Наибольшее количество — 4 точки.

Ответ: 4

Методические рекомендации

При подготовке учащихся к заданию 22 ОГЭ по теме "Квадратичная функция с модулем" рекомендуется:

• Начинать с повторения построения обычных квадратичных функций
• Отрабатывать алгоритм построения графиков с модулем на различных примерах
• Уделять внимание анализу количества точек пересечения с горизонтальными прямыми
• Использовать разнообразные задания для формирования устойчивого навыка

Представленные материалы и задачи помогут учителям математики эффективно организовать подготовку учащихся к выполнению задания 22 ОГЭ, связанного с построением графиков квадратичных функций с модулем.