Задание 22 ОГЭ: Линейная и квадратичная функции - полный разбор

Задание 22 в ОГЭ по математике проверяет умение работать с функциями и их графиками. Наиболее часто в этом задании встречаются линейные и квадратичные функции, которые составляют основу функциональной линии школьного курса алгебры. В этой статье мы систематизируем знания об этих функциях и подготовимся к успешному выполнению экзаменационных задач.

Линейная функция: основные свойства и график

Линейная функция задается формулой \( y = kx + b \), где \( k \) - угловой коэффициент, \( b \) - свободный член. Графиком линейной функции является прямая линия.

Ключевые свойства линейной функции:

Область определения: все действительные числа \( (-\infty; +\infty) \)
При \( k > 0 \) функция возрастает на всей области определения
При \( k < 0 \) функция убывает на всей области определения
При \( k = 0 \) функция постоянна: \( y = b \)
График пересекает ось Oy в точке \( (0; b) \)
График пересекает ось Ox в точке \( (-\frac{b}{k}; 0) \) (при \( k \neq 0 \))

Квадратичная функция: парабола и ее характеристики

Квадратичная функция имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a \neq 0 \). Ее графиком является парабола.

Основные свойства квадратичной функции:

Область определения: все действительные числа \( (-\infty; +\infty) \)
При \( a > 0 \) ветви параболы направлены вверх, функция имеет минимум
При \( a < 0 \) ветви параболы направлены вниз, функция имеет максимум
Вершина параболы находится в точке \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), \( y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c \)
Ось симметрии параболы: вертикальная прямая \( x = -\frac{b}{2a} \)
Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \)
Точка пересечения с осью Oy: \( (0; c) \)

Преобразования графиков функций

Для успешного выполнения задания 22 важно понимать, как преобразования функции влияют на ее график:

\( y = f(x) + a \) - параллельный перенос графика на \( a \) единиц вдоль оси Oy
\( y = f(x + b) \) - параллельный перенос графика на \( b \) единиц вдоль оси Ox
\( y = kf(x) \) - растяжение (при \( |k| > 1 \)) или сжатие (при \( 0 < |k| < 1 \)) графика вдоль оси Oy
\( y = f(mx) \) - растяжение (при \( 0 < |m| < 1 \)) или сжатие (при \( |m| > 1 \)) графика вдоль оси Ox
\( y = -f(x) \) - симметричное отражение графика относительно оси Ox
\( y = f(-x) \) - симметричное отражение графика относительно оси Oy

Математические факты и формулы для решения задач

Для решения задач с кусочно-заданными функциями, которые часто встречаются в задании 22 ОГЭ, необходимы следующие знания:

Формула квадратичной функции: \( y = ax^2 + bx + c \)
Координаты вершины параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), \( y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
Формула линейной функции: \( y = kx + b \)
Условие пересечения графиков: системы уравнений
Понятие кусочно-заданной функции
Методы нахождения точек пересечения графиков функций
Определение количества общих точек графиков функций

Разбор задачи с кусочно-заданными функциями

Задача

Постройте график функции \( y = \begin{cases} -x^2 + 6x - 14, & \text{при } x \geq 2, \\ -x - 5, & \text{при } x < 2 \end{cases} \)

и определите, при каких значениях m прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим каждую часть функции отдельно.

Первая часть (при \( x \geq 2 \)): \( y = -x^2 + 6x - 14 \)

Это квадратичная функция. Найдем ее вершину:

\( x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \)

\( y_0 = -3^2 + 6 \cdot 3 - 14 = -9 + 18 - 14 = -5 \)

Ветви параболы направлены вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).

Поскольку мы рассматриваем функцию только при \( x \geq 2 \), найдем значение функции в точке \( x = 2 \):

\( y(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 - 14 = -4 + 12 - 14 = -6 \)

Вторая часть (при \( x < 2 \)): \( y = -x - 5 \)

Это линейная функция. Ее график - прямая с угловым коэффициентом -1.

Найдем значение функции в точке \( x = 2 \) (граничная точка, не входящая в область определения этой части):

\( y(2) = -2 - 5 = -7 \)

Теперь определим, при каких значениях m прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Анализируя график:

При \( m < -7 \) - одна точка пересечения с линейной частью
При \( m = -7 \) - одна точка пересечения (граничная точка \( x = 2 \) не принадлежит линейной части)
При \( -7 < m < -6 \) - две точки пересечения (одна с линейной частью, одна с квадратичной)
При \( m = -6 \) - две точки пересечения (одна с линейной частью, одна с квадратичной в точке \( x = 2 \))
При \( -6 < m < -5 \) - три точки пересечения (одна с линейной частью, две с квадратичной)
При \( m = -5 \) - две точки пересечения (вершина параболы и одна точка с линейной частью)
При \( m > -5 \) - одна точка пересечения с линейной частью

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( m \in (-7; -6) \cup \{-5\} \).

Материалы для учителей

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 22 ОГЭ по теме "Линейная и квадратичная функции" на нашем сайте доступны:

PDF-файлы с теоретическими материалами по свойствам и графикам функций
Самостоятельные работы для проверки понимания темы
Контрольные работы, включающие задачи различного уровня сложности

Задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Особого внимания заслуживает наш Конструктор индивидуальных заданий - специальный сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Линейная и квадратичная функции". Это особенно полезно при дифференцированном подходе к обучению и подготовке к ОГЭ.