Задание 22 ОГЭ: Парабола и графики функций

Задание 22 в ОГЭ по математике представляет собой задачу на построение и исследование графиков функций, преимущественно квадратичных. Этот тип заданий требует от учащихся понимания свойств функций, умения анализировать уравнения и строить соответствующие графики. Для учителей математики важно подготовить учеников к решению таких задач систематически.

Ключевые аспекты параболы в ОГЭ

Парабола — график квадратичной функции вида \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a \neq 0 \). Основные характеристики, которые необходимо знать учащимся:

• Направление ветвей: при \( a > 0 \) ветви направлены вверх, при \( a < 0 \) — вниз
• Вершина параболы: точка с координатами \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), \( y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c \)
• Ось симметрии: вертикальная прямая \( x = -\frac{b}{2a} \)
• Точки пересечения с осями координат

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 22 ОГЭ рекомендуется обратить внимание на следующие аспекты:

1. Систематическое изучение свойств квадратичной функции
2. Отработка навыков построения графиков по точкам
3. Исследование взаимного расположения графиков функций
4. Анализ уравнений, содержащих модули и параметры

Для эффективной подготовки можно использовать Конструктор индивидуальных заданий — сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Графики функций". Это особенно полезно при дифференцированном подходе к обучению.

Математические факты и формулы для решения задач с графиками

Для успешного решения задач на построение и исследование графиков функций в задании 22 ОГЭ учащимся необходимо знать:

• Общий вид квадратичной функции: \( y = ax^2 + bx + c \)
• Формулы для нахождения координат вершины параболы
• Понятие дискриминанта и его связь с точками пересечения с осью Ox
• Свойства модуля: \( |x| = x \) при \( x \geq 0 \) и \( |x| = -x \) при \( x < 0 \)
• Методы исследования функций на четность и нечетность
• Алгоритмы построения графиков кусочных функций
• Приемы определения количества точек пересечения графиков

Примеры задач и их решение

Задача 1

Постройте график функции \( y = \frac{(0.5x^2 + 1.5x)|x|}{x+3} \) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

1. Найдем область определения функции: знаменатель не должен равняться нулю, поэтому \( x + 3 \neq 0 \), значит \( x \neq -3 \).

2. Упростим выражение, учитывая определение модуля:

• При \( x \geq 0 \): \( |x| = x \), тогда \( y = \frac{(0.5x^2 + 1.5x)x}{x+3} = \frac{0.5x^3 + 1.5x^2}{x+3} \)
• При \( x < 0 \): \( |x| = -x \), тогда \( y = \frac{(0.5x^2 + 1.5x)(-x)}{x+3} = \frac{-0.5x^3 - 1.5x^2}{x+3} \)

3. Упростим полученные выражения, выделив целую часть. Для \( x \geq 0 \):

\( y = \frac{0.5x^3 + 1.5x^2}{x+3} = \frac{0.5x^2(x+3)}{x+3} = 0.5x^2 \) при \( x \neq -3 \)

Для \( x < 0 \):

\( y = \frac{-0.5x^3 - 1.5x^2}{x+3} = \frac{-0.5x^2(x+3)}{x+3} = -0.5x^2 \) при \( x \neq -3 \)

4. Таким образом, функция принимает вид:

• \( y = 0.5x^2 \) при \( x \geq 0 \), \( x \neq -3 \) (но -3 не входит в этот промежуток)
• \( y = -0.5x^2 \) при \( x < 0 \), \( x \neq -3 \)

5. Построим график: при \( x \geq 0 \) — ветвь параболы \( y = 0.5x^2 \), при \( x < 0 \) — ветвь параболы \( y = -0.5x^2 \).

6. Прямая y = m — горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком, если будет расположена так, что не пересекает ни одну из ветвей.

7. При \( x \geq 0 \) значения функции \( y \geq 0 \), при \( x < 0 \) значения функции \( y < 0 \).

8. Найдем значение функции в точке x = -3 (точка разрыва). Хотя x = -3 не входит в область определения, исследуем поведение функции вблизи этой точки:

• При \( x \to -3^- \) (слева): \( y = -0.5 \cdot 9 = -4.5 \)
• При \( x \to -3^+ \) (справа): \( y = -0.5 \cdot 9 = -4.5 \)

9. Таким образом, при m = -4.5 прямая y = m проходит через "выколотую" точку (-3; -4.5) и не имеет других общих точек с графиком.

Ответ: m = -4.5

Задача 2

Постройте график функции \( y = \frac{(x^2+1)(x-3)}{3-x} \) и определите, при каких значениях параметра k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Найдем область определения функции: знаменатель не должен равняться нулю, поэтому \( 3 - x \neq 0 \), значит \( x \neq 3 \).

2. Упростим выражение: \( y = \frac{(x^2+1)(x-3)}{3-x} = \frac{(x^2+1)(x-3)}{-(x-3)} = -(x^2+1) \) при \( x \neq 3 \).

3. Таким образом, \( y = -x^2 - 1 \) при \( x \neq 3 \).

4. Построим график: это парабола \( y = -x^2 - 1 \) с "выколотой" точкой при x = 3. Вычислим значение функции в этой точке: \( y = -9 - 1 = -10 \), значит точка (3; -10) исключена из графика.

5. Прямая y = kx проходит через начало координат с угловым коэффициентом k.

6. Найдем точки пересечения графика функции и прямой y = kx:

\( -x^2 - 1 = kx \)

\( x^2 + kx + 1 = 0 \)

7. Это квадратное уравнение относительно x. Количество решений зависит от дискриминанта: \( D = k^2 - 4 \).

8. Рассмотрим случаи:

• Если \( D > 0 \) (\( |k| > 2 \)), то уравнение имеет два корня, но нужно проверить, не равен ли один из них 3 (точке разрыва).
• Если \( D = 0 \) (\( k = \pm 2 \)), то уравнение имеет один корень (кратности 2).
• Если \( D < 0 \) (\( |k| < 2 \)), то уравнение не имеет действительных корней.

9. Проверим особый случай, когда один из корней равен 3 (точке разрыва). Подставим x = 3 в уравнение:

\( 9 + 3k + 1 = 0 \)

\( 3k + 10 = 0 \)

\( k = -\frac{10}{3} \)

10. При этом значении k уравнение \( x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0 \) имеет корни: x = 3 и x = 1/3. Но x = 3 не входит в область определения, поэтому остается только одна точка пересечения (x = 1/3).

11. Таким образом, ровно одна общая точка будет в случаях:

• \( k = \pm 2 \) — прямая касается параболы
• \( k = -\frac{10}{3} \) — один из корней попадает в точку разрыва

Ответ: \( k = \pm 2 \), \( k = -\frac{10}{3} \)

Дополнительные материалы для учителей

На странице представлены задания для самостоятельной работы, которые аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе находятся не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Для более эффективной подготовки учащихся к заданию 22 ОГЭ рекомендуется использовать разнообразные формы работы: индивидуальные задания, групповые обсуждения методов решения, анализ типичных ошибок. Особое внимание следует уделять заданиям с параметрами и модулями, которые часто вызывают затруднения у учащихся.