Задание 23 ОГЭ: Геометрические задачи с окружностями

Задачи на окружности занимают важное место в контрольно-измерительных материалах ОГЭ по математике. В задании 23 учащимся предлагаются геометрические задачи повышенной сложности, требующие глубокого понимания свойств окружностей и их взаимосвязи с другими фигурами. Для учителей математики особенно ценными являются материалы, которые помогают систематизировать подготовку учащихся к этому заданию.

Ключевые аспекты темы "Окружность" в ОГЭ

При подготовке учащихся к заданию 23 ОГЭ по математике важно охватить следующие разделы, связанные с окружностями:

• Вписанные и центральные углы
• Свойства хорд, касательных и секущих
• Вписанные и описанные окружности треугольников и четырехугольников
• Взаимное расположение окружностей и прямых
• Метрические соотношения в окружностях

Основные математические факты и формулы

Для успешного решения задач с окружностями в задании 23 ОГЭ учащимся необходимо уверенное знание следующих математических фактов и формул:

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла
• Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд: \( AM \cdot MB = CM \cdot MD \)
• Квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: \( AB^2 = AC \cdot AD \)
• Формула длины окружности: \( C = 2\pi R \)
• Формула площади круга: \( S = \pi R^2 \)
• Радиус вписанной в треугольник окружности: \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) - полупериметр
• Радиус описанной около треугольника окружности: \( R = \frac{abc}{4S} \)
• Теорема синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
• Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180°
• Свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны

Практические задачи для урока

Предлагаем вашему вниманию подборку задач, аналогичных тем, которые встречаются в Открытом банке заданий ОГЭ ФИПИ. Эти задачи можно использовать на уроках при подготовке к заданию 23.

Задача 1

Окружность с центром на стороне TR треугольника TBR проходит через вершину R и касается прямой TB в точке B. Найдите диаметр окружности, если TB = 72, TR = 162.

Решение:

Обозначим центр окружности как O. Поскольку окружность касается TB в точке B, то OB ⟂ TB. Треугольник OBR - равнобедренный (OB = OR как радиусы). Рассмотрим треугольники OBT и ORT. Они прямоугольные, так как OB ⟂ TB. По теореме Пифагора:

\( OT^2 = OB^2 + TB^2 = R^2 + 72^2 \)

Также \( OT = TR - OR = 162 - R \)

Приравниваем: \( (162 - R)^2 = R^2 + 72^2 \)

\( 162^2 - 2 \cdot 162 \cdot R + R^2 = R^2 + 72^2 \)

\( 26244 - 324R = 5184 \)

\( 324R = 21060 \)

\( R = 65 \)

Диаметр окружности равен \( 2R = 2 \cdot 65 = 130 \)

Ответ: 130

Задача 2

Углы N и B треугольника TNB равны соответственно 11° и 139°. Найдите NB, если радиус окружности, описанной около треугольника TNB, равен 82.

Решение:

Сначала найдем угол T: \( \angle T = 180° - 11° - 139° = 30° \)

По теореме синусов: \( \frac{NB}{\sin T} = 2R \)

\( \frac{NB}{\sin 30°} = 2 \cdot 82 \)

\( \frac{NB}{0.5} = 164 \)

\( NB = 164 \cdot 0.5 = 82 \)

Ответ: 82

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 23 ОГЭ по теме "Окружность" рекомендуется:

1. Систематизировать изучение свойств окружностей, начиная с базовых понятий
2. Отрабатывать навык распознавания типовых конфигураций окружностей с другими фигурами
3. Уделять внимание доказательствам теорем, что способствует более глубокому пониманию материала
4. Использовать задачи разного уровня сложности для дифференцированного подхода в обучении
5. Включать в уроки задачи на построение, развивающие геометрическую интуицию

Конструктор индивидуальных заданий

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 23 ОГЭ по теме "Окружность" вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика, учитывая их уровень подготовки и типичные ошибки. Задания, генерируемые конструктором, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ ФИПИ, хотя и не охватывают все возможные варианты.

Дополнительные материалы

На странице доступны для скачивания PDF-файлы с подборками задач по теме "Окружность" для использования на уроках математики. Эти материалы включают:

• Карточки для самостоятельной работы
• Тематические контрольные работы
• Опорные конспекты по ключевым свойствам окружностей
• Задачи на доказательство геометрических фактов

Использование разнообразных заданий по теме "Окружность" поможет учащимся увереннее чувствовать себя при выполнении задания 23 ОГЭ по математике и успешно справляться с геометрическими задачами повышенной сложности.