Задание 23 ОГЭ: Подобие треугольников

Задание 23 в ОГЭ по математике проверяет знания учащихся по геометрии, и одной из ключевых тем здесь является подобие треугольников. Эта тема вызывает определенные сложности у многих школьников, поэтому требует особого внимания при подготовке.

Что такое подобие треугольников?

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Обозначается подобие как \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Коэффициентом подобия называется число \(k\), равное отношению сходственных сторон подобных треугольников: \(k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\).

Признаки подобия треугольников

Для доказательства подобия треугольников используются три основных признака:

Первый признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Математические факты и формулы для решения задач на подобие

Для успешного решения задач на подобие треугольников в задании 23 ОГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_1}{S_2} = k^2\).
Если прямая параллельна одной из сторон треугольника и пересекает две другие стороны, то она отсекает треугольник, подобный исходному.
В подобных треугольниках соответствующие линии (медианы, биссектрисы, высоты) пропорциональны сходственным сторонам.
Если два треугольника имеют параллельные соответствующие стороны, то они подобны.
Если два треугольника имеют соответственно перпендикулярные стороны, то они подобны.
Отношение соответствующих элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия \(k\).
Теорема Фалеса: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Свойство биссектрисы: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Примеры решения задач

Рассмотрим две типичные задачи на подобие треугольников, аналогичные тем, которые встречаются в Открытом банке заданий ФИПИ.

Задача 1

Прямая, параллельная стороне RS треугольника RXS, пересекает стороны RX и XS в точках M и C соответственно. Найдите XC, если MC = 4, RS = 72, CS = 51.

Решение:

Поскольку MC ∥ RS, то треугольники XMC и XRS подобны по первому признаку подобия (угол X - общий, углы при вершинах R и S соответственно равны углам при вершинах M и C как соответственные при параллельных прямых).

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

\(\frac{XC}{XS} = \frac{MC}{RS}\)

Обозначим XC = x, тогда XS = x + CS = x + 51.

Составляем пропорцию:

\(\frac{x}{x + 51} = \frac{4}{72}\)

\(\frac{x}{x + 51} = \frac{1}{18}\)

18x = x + 51

17x = 51

x = 3

Ответ: XC = 3.

Задача 2

Отрезки ZE и SN лежат на параллельных прямых, а отрезки ZN и ES пересекаются в точке O. Найдите ON, если ZE = 11, NS = 33, ZN = 32.

Решение:

Поскольку ZE ∥ SN, то углы OZE и ONS равны как соответственные, а углы ZOE и SON равны как вертикальные. Следовательно, треугольники ZOE и SON подобны по первому признаку подобия.

Из подобия следует:

\(\frac{ZE}{NS} = \frac{ZO}{ON}\)

Обозначим ON = x, тогда ZO = ZN - ON = 32 - x.

Составляем пропорцию:

\(\frac{11}{33} = \frac{32 - x}{x}\)

\(\frac{1}{3} = \frac{32 - x}{x}\)

x = 3(32 - x)

x = 96 - 3x

4x = 96

x = 24

Ответ: ON = 24.

Методические материалы для учителей

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 23 ОГЭ по теме "Подобие треугольников" рекомендуем использовать специальный инструмент для создания заданий, который позволяет формировать индивидуальные карточки для каждого ученика с учетом его уровня подготовки.

Предлагаемые материалы включают задачи, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). С помощью конструктора можно создавать разнообразные варианты заданий, охватывающие все аспекты темы "Подобие треугольников".