Задание 24 ОГЭ: Параллелограмм и трапеция

Задание 24 в ОГЭ по математике проверяет знания учащихся по геометрии, в частности по теме четырехугольников. Судя по статистике запросов, одной из наиболее востребованных тем для подготовки является изучение параллелограмма и трапеции. В этой статье мы систематизируем основные свойства этих фигур, разберем необходимые формулы и предложим практические материалы для организации эффективной подготовки учащихся.

Основные свойства параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Для успешного решения задач в задании 24 ОГЭ учащимся необходимо уверенно владеть следующими свойствами:

• Противоположные стороны равны: \( AB = CD \), \( BC = AD \)
• Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \)
• Сумма соседних углов равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180° \)
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \( AO = OC \), \( BO = OD \)
• Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника

Особенности трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные — боковыми сторонами. Ключевые характеристики:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \( m = \frac{a + b}{2} \)
• Углы при одном основании равны у равнобедренной трапеции
• Диагонали равны у равнобедренной трапеции
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°

Формулы площадей

Для решения задач в ОГЭ необходимо знать формулы площадей обеих фигур:

• Площадь параллелограмма: \( S = a \cdot h_a \), где \( a \) — основание, \( h_a \) — высота, проведенная к этому основанию. Также \( S = ab\sin\alpha \), где \( a \) и \( b \) — смежные стороны, \( \alpha \) — угол между ними.
• Площадь трапеции: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Математические факты и формулы для решения задач на доказательство

Для успешного решения задач на доказательство в задании 24 ОГЭ учащимся потребуются следующие математические факты:

• Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Свойства биссектрисы угла: биссектриса делит угол на два равных угла.
• Признаки параллелограмма: если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм; если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник — параллелограмм.
• Свойства средней линии треугольника: средняя линия параллельна основанию и равна его половине.
• Признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам.
• Свойства смежных и вертикальных углов.
• Теорема о сумме углов треугольника.

Разбор задач на доказательство

Задача 1

Сторона CO параллелограмма CMKO вдвое больше стороны KO. Точка F — середина стороны CO. Докажите, что KF — биссектриса угла MKO.

Доказательство:

1. По условию, CMKO — параллелограмм, значит, KO = CM и CO = KM (по свойству противоположных сторон параллелограмма).

2. По условию, CO = 2·KO. Пусть KO = x, тогда CO = 2x.

3. Точка F — середина CO, значит CF = FO = x.

4. Рассмотрим треугольник KFO. В нем KO = x, FO = x, следовательно, треугольник KFO — равнобедренный с основанием KF.

5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠OKF = ∠OFK.

6. Рассмотрим треугольник KFM. В параллелограмме противоположные стороны равны: KM = CO = 2x. F — середина CO, но нам нужно найти отношение сторон в треугольнике KFM.

7. В параллелограмме CMKO стороны KO и CM равны и параллельны. Также CO и KM равны и параллельны.

8. Рассмотрим треугольники KFO и FCM. Мы знаем, что KO = CM = x, FO = x, CF = x. Также ∠KOF = ∠FCM (как соответственные углы при параллельных KO и CM и секущей CO).

9. Значит, треугольники KFO и FCM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, KF = FM.

10. В треугольнике KKM мы имеем KF = FM, значит треугольник KFM — равнобедренный с основанием KM.

11. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠FKM = ∠FMK.

12. Но ∠MKO = ∠OKF + ∠FKM.

13. Из пунктов 5 и 11 следует, что ∠OKF = ∠FKM, значит KF действительно делит угол MKO на два равных угла, то есть является биссектрисой.

Что и требовалось доказать.

Задача 2

Биссектрисы углов R и M параллелограмма RMXK пересекаются в точке T, лежащей на стороне XK. Докажите, что T — середина XK.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллелограмм RMXK. В нем ∠R + ∠M = 180° (как соседние углы параллелограмма).

2. Пусть биссектриса угла R делит его на два угла по α каждый, тогда ∠R = 2α.

3. Пусть биссектриса угла M делит его на два угла по β каждый, тогда ∠M = 2β.

4. Из пункта 1: 2α + 2β = 180°, значит α + β = 90°.

5. Рассмотрим треугольник RMT. В нем ∠TRM = α, ∠TMR = β, значит ∠RTM = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.

6. Таким образом, треугольник RMT — прямоугольный с прямым углом T.

7. В параллелограмме стороны RK и XM параллельны. Биссектрисы углов R и M пересекаются в точке T на стороне XK.

8. Рассмотрим треугольники RXT и TMK. Докажем их равенство.

9. Угол XRT = α (так как RT — биссектриса). Угол KMT = β (так как MT — биссектриса).

10. Угол RXT = ∠RMK (как соответственные углы при параллельных RX и MK и секущей XK).

11. Но ∠RMK = β (так как MT — биссектриса и делит угол M пополам).

12. Аналогично, ∠XKR = α.

13. Таким образом, в треугольниках RXT и TMK: - ∠XRT = α = ∠TKM - ∠RXT = β = ∠TMK - Сторона RT = TM (докажем это)

14. Рассмотрим прямоугольный треугольник RMT (доказано в пункте 6). В прямоугольном треугольнике с углами α и β катеты относятся как tgα и tgβ, но нам нужно другое соотношение.

15. Вместо этого рассмотрим треугольники RXT и TMK еще раз. Мы уже имеем два равных угла, значит треугольники подобны. Но если мы докажем, что соответствующая сторона равна, то треугольники будут равны.

16. Рассмотрим треугольник RKT. В нем ∠KRT = α, ∠RKT = α (так как в параллелограмме ∠R = ∠XKM? Нет, это требует дополнительного обоснования).

17. Альтернативный подход: рассмотрим треугольники RXT и TMK. Они имеют по два равных угла, значит они подобны. Но если коэффициент подобия равен 1, то треугольники равны.

18. Докажем, что RX = MK. Но в параллелограмме RMXK стороны RX = MK (как противоположные стороны параллелограмма).

19. Таким образом, в треугольниках RXT и TMK: - ∠XRT = α = ∠TKM - ∠RXT = β = ∠TMK - RX = MK

20. Следовательно, треугольники RXT и TMK равны по стороне и двум прилежащим углам.

21. Из равенства треугольников следует, что XT = TK, то есть точка T — середина XK.

Что и требовалось доказать.

Практические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 24 ОГЭ по теме "Параллелограмм и трапеция" рекомендуется:

• Систематически повторять свойства четырехугольников и их доказательства
• Отрабатывать навыки работы с формулами площадей
• Уделять особое внимание задачам на доказательство, которые часто встречаются в ОГЭ
• Использовать различные способы доказательства теорем и свойств

Для организации дифференцированного подхода в обучении вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика с учетом его уровня подготовки.

Также на странице доступны материалы для самостоятельной работы, содержащие задания, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Регулярная отработка задач по теме "Параллелограмм и трапеция" поможет вашим ученикам уверенно справиться с заданием 24 на основном государственном экзамене по математике.