Задание 25 ОГЭ по математике: Окружность

Задачи на окружности занимают важное место в задании 25 ОГЭ по математике. Эти задания проверяют понимание геометрических свойств окружностей, умение применять теоремы и формулы в нестандартных ситуациях. Для успешного решения таких задач учащимся необходимо уверенное владение теоретическим материалом и практическими методами решения.

Ключевые теоретические положения

При подготовке учащихся к заданию 25 ОГЭ по теме "Окружность" важно акцентировать внимание на следующих математических фактах и формулах:

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между ними
Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд: \( AC \cdot CB = DC \cdot CE \)
Формула длины окружности: \( C = 2\pi R \)
Формула площади круга: \( S = \pi R^2 \)
Формула длины дуги окружности: \( l = \frac{\pi R \alpha}{180} \), где \( \alpha \) - центральный угол в градусах
Теорема синусов для треугольника, вписанного в окружность: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
Формула радиуса вписанной в треугольник окружности: \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) - полупериметр
Формула радиуса описанной около треугольника окружности: \( R = \frac{abc}{4S} \)
Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180°
Свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны

Методические материалы для учителей

На странице доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ по теме "Окружность в задании 25 ОГЭ". Эти материалы содержат задачи, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ОГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Для организации дифференцированного подхода в обучении используйте Конструктор индивидуальных заданий - специальный сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Окружность в задании 25 ОГЭ".

Математические факты для решения задач на окружности

Для успешного решения задач на окружности в задании 25 ОГЭ учащимся необходимо знать следующие математические факты и формулы:

Свойство углов в окружности: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
Теорема о касательной и секущей: квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть
Формула расстояния от центра окружности до хорды: \( d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \), где \( l \) - длина хорды
Свойство радиуса, проведенного в точку касания: он перпендикулярен касательной
Теорема о пересекающихся хордах: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
Формула радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника: \( R = \frac{c}{2} \), где \( c \) - гипотенуза
Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: \( r = \frac{a + b - c}{2} \), где \( a \), \( b \) - катеты, \( c \) - гипотенуза
Свойство биссектрисы угла: она является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла
Теорема синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности
Формула для нахождения радиуса окружности, касающейся прямой и проходящей через две точки

Разбор задачи на окружности

Задача

В трапеции OPZK основания OK и PZ равны соответственно 55 и 33, а сумма углов при основании OK равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки O и P и касающейся прямой ZK, если OP = 9.

Решение:

1. Обозначим углы при основании OK как ∠O и ∠K. По условию: ∠O + ∠K = 90°.

2. Рассмотрим треугольник OZK. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OZK = 180° - (∠O + ∠K) = 180° - 90° = 90°. Таким образом, треугольник OZK - прямоугольный с прямым углом Z.

3. В трапеции OPZK основания параллельны, поэтому OP ∥ ZK. Значит, расстояние между этими прямыми постоянно.

4. Окружность проходит через точки O и P и касается прямой ZK. Так как OP ∥ ZK, то расстояние от центра окружности до прямой ZK равно расстоянию от центра до прямой OP, которое равно радиусу R.

5. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности O₁, точкой O и проекцией центра на прямую ZK. Этот треугольник прямоугольный с гипотенузой O₁O = R и катетом, равным R.

6. Из геометрических соотношений получаем, что R = 18.

Ответ: 18