Центральные и вписанные углы в задачах ЕГЭ по математике

Тема центральных и вписанных углов является одной из фундаментальных в школьном курсе геометрии и регулярно встречается в задании 1 профильного ЕГЭ по математике. Понимание свойств этих углов позволяет успешно решать разнообразные геометрические задачи, связанные с окружностями.

Основные понятия и определения

Центральным углом называется угол, вершина которого находится в центре окружности. Такой угол всегда равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Ключевое свойство вписанного угла заключается в том, что его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего центрального угла.

Математически это записывается как: \( \alpha = \frac{\beta}{2} \), где \( \alpha \) — вписанный угол, \( \beta \) — центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Важные свойства и теоремы

При работе с центральными и вписанными углами особенно полезны следующие математические факты:

• Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда является прямым (90°)
• Если два вписанных угла опираются на равные дуги, то они равны
• В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°

Формулы и математические факты для решения задач

Для успешного решения задач ЕГЭ по теме центральных и вписанных углов необходимо знать следующие формулы и теоремы:

• Теорема о вписанном угле: \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC \), где \( \cup AC \) — градусная мера дуги AC
• Свойство центрального угла: \( \angle AOC = \cup AC \), где O — центр окружности
• Теорема о вписанных углах, опирающихся на одну дугу: \( \angle ABC = \angle ADC \), если оба угла опираются на дугу AC
• Свойство вписанного четырёхугольника: \( \angle A + \angle C = 180^\circ \), \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
• Теорема синусов для треугольника: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где R — радиус описанной окружности

Практические задания для урока

Предлагаемые ниже задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений. Они помогут отработать навыки решения задач на центральные и вписанные углы.

Задача 1

Четырёхугольник DSPZ вписан в окружность. Угол DSZ равен 77°, угол PDZ равен 3°. Найдите угол DSP. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанные углы DSZ и PDZ опираются на дугу DZ. Угол DSP является смежным с углом DSZ, поэтому для его нахождения нужно использовать свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу. Рассмотрим треугольник DSZ: угол DSZ = 77°, угол PDZ = 3°. Угол DSP будет равен 180° - 77° - 3° = 100°, но это неверно, так как мы не учли свойство вписанных углов.

Правильное решение: угол DSZ и угол PDZ опираются на разные дуги. Угол DSZ опирается на дугу DZ, а угол PDZ опирается на дугу PZ. Угол DSP опирается на дугу DZP. По свойству вписанного четырёхугольника, сумма противоположных углов равна 180°. Но в этой задаче нужно использовать свойство: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол DSZ = 77° опирается на дугу DZ, значит ∪DZ = 2 × 77° = 154°.
Угол PDZ = 3° опирается на дугу PZ, значит ∪PZ = 2 × 3° = 6°.
Угол DSP опирается на дугу DZP, которая состоит из дуг DZ и ZP: ∪DZP = ∪DZ + ∪ZP = 154° + 6° = 160°.
Следовательно, угол DSP = 160° / 2 = 80°.

Ответ: 80

Задача 2

Четырёхугольник RSXT вписан в окружность. Угол RSX равен 49°, угол XRT равен 30°. Найдите угол RST. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол RSX = 49° опирается на дугу RX, значит ∪RX = 2 × 49° = 98°.
Угол XRT = 30° опирается на дугу XT, значит ∪XT = 2 × 30° = 60°.
Угол RST опирается на дугу RT, которая состоит из дуг RX и XT: ∪RT = ∪RX + ∪XT = 98° + 60° = 158°.
Но угол RST не опирается на дугу RT, а является частью угла RSX. Нужно найти угол между хордами RS и ST.

Угол RST — это вписанный угол, опирающийся на дугу RT. Но в условии сказано, что нужно найти угол RST, который является частью угла RSX. Угол RSX состоит из углов RST и TSX. Нам известен угол XRT, который опирается на дугу XT.

Правильное решение: угол RSX = 49° опирается на дугу RX. Угол XRT = 30° опирается на дугу XT. Угол RST опирается на дугу RT, но нам нужно найти именно угол RST, который является разностью: угол RST = угол RSX - угол XST. Однако, угол XST не дан.

Альтернативный подход: рассмотрим треугольник RST. Угол RST — искомый. Угол SRT = 30° (по условию, это угол XRT). Угол RTS опирается на дугу RS. Угол RSX = 49° опирается на дугу RX, а не на дугу RS. Нужно использовать свойство: вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, но находящиеся по разные стороны от нее, в сумме дают 180°.

Угол RSX и угол RTX опираются на одну хорду RX, но находятся по разные стороны от нее, поэтому: угол RSX + угол RTX = 180°. Отсюда угол RTX = 180° - 49° = 131°.

В треугольнике RXT: угол XRT = 30°, угол RTX = 131°, значит угол RXT = 180° - 30° - 131° = 19°.

Угол RXT и угол RST — это один и тот же угол (обозначенный по-разному в разных треугольниках).

Ответ: 19

Задача 3

В треугольнике FBH сторона FB равна 43, угол H равен 150°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где R — радиус описанной окружности.

В нашем треугольнике FBH известна сторона FB = 43 и противолежащий ей угол H = 150°. По теореме синусов: \( \frac{FB}{\sin H} = 2R \).

Подставляем известные значения: \( \frac{43}{\sin 150^\circ} = 2R \).

Синус 150° равен синусу (180° - 150°) = sin 30° = 0,5.

Получаем: \( \frac{43}{0,5} = 2R \) ⇒ \( 86 = 2R \) ⇒ \( R = 43 \).

Ответ: 43

Методические рекомендации для учителей

При изучении темы центральных и вписанных углов с учениками важно обратить внимание на визуальное представление задач. Рекомендуется использовать цветные мелки или маркеры для выделения различных дуг и углов на чертежах. Это помогает ученикам лучше понять, на какие именно дуги опираются те или иные углы.

Для закрепления материала полезно использовать генератор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика. Это особенно актуально при подготовке к ЕГЭ, когда важно отработать решение задач разного уровня сложности.

Предложенные в статье задания соответствуют уровню сложности задания 1 профильного ЕГЭ по математике и могут быть использованы для проведения самостоятельных и контрольных работ. Все они аналогичны задачам из открытого банка заданий ФИПИ.

Заключение

Тема центральных и вписанных углов является важной составляющей курса геометрии и требует от учащихся понимания основных свойств окружности и умения применять эти свойства на практике. Регулярная отработка решения задач по этой теме поможет ученикам успешно справиться с заданием 1 профильного ЕГЭ по математике.