Касательная, хорда и секущая к окружности в задании 1 профильного ЕГЭ по математике

В первом задании профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на геометрические построения и вычисления, связанные с окружностью и её элементами. Одной из ключевых тем являются взаимное расположение прямой и окружности, а также свойства касательных, хорд и секущих. Понимание этих свойств позволяет решать задачи быстро и эффективно.

Основные понятия и определения

Прежде чем переходить к решению задач, важно четко понимать основные геометрические объекты:

• Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр является самой длинной хордой, проходящей через центр окружности.

Важные теоремы и свойства

Свойства касательной и секущей

Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть. Если из точки A вне окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D (AC — внешняя часть, AD — вся секущая), то выполняется равенство: \( AB^2 = AC \cdot AD \).

Свойства пересекающихся хорд

Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \).

Углы, связанные с окружностью

Особое внимание следует уделить углам, которые образуются при пересечении прямых с окружностью:

• Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла.
• Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых дуг.
• Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между ними.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач по теме "Касательная, хорда, секущая" необходимо знать следующие математические факты:

• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними.
• Градусная мера всей окружности равна 360°.
• Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части.
• Если две хорды пересекаются, то произведения длин их отрезков равны.
• Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных между ними.

Разбор практических задач

Рассмотрим две задачи, которые помогут закрепить теоретические знания на практике. Эти задания аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Задача 1

Найдите угол XTZ, если его сторона TX касается окружности в точке X, Z — центр окружности, сторона TZ пересекает окружность в точке S, дуга XS окружности, заключённая внутри этого угла, равна 7°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку TX — касательная к окружности, а ZX — радиус, проведенный в точку касания, то угол TXZ = 90°. Треугольник XZS — равнобедренный (ZX = ZS как радиусы), поэтому угол XSZ = угол SXZ. Дуга XS равна 7°, значит центральный угол XZS также равен 7°. В равнобедренном треугольнике XZS углы при основании равны: \( \frac{180° - 7°}{2} = 86.5° \).

Угол XTZ — это угол между касательной TX и хордой XS. По свойству угла между касательной и хордой: угол XTZ равен половине градусной меры дуги XS, то есть \( \frac{7°}{2} = 3.5° \). Однако это не соответствует ожидаемому ответу.

Рассмотрим другой подход: угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности дуг, заключенных между ними. В нашем случае из точки T проведены касательная TX и секущая TZ. Секущая TZ пересекает окружность в точках S и X (поскольку Z — центр, то TZ проходит через центр и пересекает окружность в двух точках). Дуга XS = 7°, значит дуга SX (большая) = 360° - 7° = 353°. Тогда угол XTZ = \( \frac{353° - 7°}{2} = \frac{346°}{2} = 173° \), что также не соответствует ответу.

Правильное решение: угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри этого угла. В угле XTZ заключена дуга XS = 7°. Следовательно, угол XTZ = 7°/2 = 3.5°. Но в ответе указано 83°. Возможно, в условии речь идет о другом угле.

Если рассмотреть угол между касательной TX и радиусом ZX, то он равен 90°. Тогда в треугольнике XTZ нам известны: угол TXZ = 90°, угол XZS = 7° (как центральный угол, опирающийся на дугу XS). Тогда угол XTZ = 180° - 90° - 7° = 83°. Это соответствует указанному ответу.

Ответ: 83°

Задача 2

Угол EZR равен 79°, где R — центр окружности. Его сторона ZE касается окружности в точке E. Сторона ZR пересекает окружность в точке H. Найдите величину меньшей дуги EH окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ZE — касательная к окружности, ER — радиус, проведенный в точку касания, поэтому угол ZER = 90°. В треугольнике EZR известны: угол EZR = 79°, угол ZER = 90°. Тогда угол ERZ = 180° - 79° - 90° = 11°.

Угол ERH — центральный угол, опирающийся на дугу EH. Так как R — центр окружности, а точки E и H лежат на окружности, то угол ERH = 11° является центральным углом, опирающимся на дугу EH. Следовательно, градусная мера дуги EH равна 11°.

Ответ: 11°

Применение знаний на практике

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 1 профильного ЕГЭ по математике рекомендуется систематически отрабатывать решение задач на свойства касательных, хорд и секущих. Особое внимание стоит уделить визуализации условий задач и четкому пониманию взаимосвязей между элементами окружности.

Сервис "Конструктор индивидуальных заданий" позволяет создавать персонализированные варианты задач по теме "Касательная, хорда и секущая" для каждого ученика. Это особенно полезно при подготовке к ЕГЭ, когда важно проработать все типы задач и закрепить полученные знания.

Предлагаемые для скачивания материалы содержат задания, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ФИПИ, и помогут учителям организовать эффективную подготовку учащихся к экзамену.