Задание 1 профильного ЕГЭ: Окружность, описанная около треугольника и четырехугольника

Тема описанной окружности регулярно встречается в первом задании профильного ЕГЭ по математике. Это задание проверяет базовые геометрические знания и умение применять простейшие формулы. Для успешного решения таких задач учителям важно обеспечить студентам твердое понимание основных свойств и формул, связанных с описанными окружностями.

Основные понятия и свойства

Описанной называется окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Если многоугольник вписан в окружность, то говорят, что окружность описана около него.

Треугольник и описанная окружность

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Ключевые формулы для треугольника:

• Радиус описанной окружности: \( R = \frac{a}{2\sin\alpha} \)
• Теорема синусов: \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \)

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы: \( R = \frac{c}{2} \).

Четырехугольник и описанная окружность

Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Необходимое и достаточное условие: сумма противоположных углов должна равняться 180°:

\( \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ \)

Это свойство является центральным при решении задач на вписанные четырехугольники в ЕГЭ.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на описанную окружность в задании 1 ЕГЭ необходимо знать:

1. Свойство вписанного угла: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
2. Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180°
3. Теорему синусов для треугольника: \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \)
4. Формулы для радиуса описанной окружности:
   • Для произвольного треугольника: \( R = \frac{abc}{4S} \)
   • Для прямоугольного треугольника: \( R = \frac{c}{2} \), где c - гипотенуза
   • Для равностороннего треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)
5. Свойство равнобедренной трапеции: около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Разбор конкретных задач

Рассмотрим несколько характерных задач на тему описанной окружности, аналогичных тем, которые встречаются в задании 1 ЕГЭ.

Задача 1

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 120° и 95°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Поскольку нам даны два угла, нужно определить, какие из них являются противоположными. Предположим, что 120° и 95° - противоположные углы. Их сумма 120° + 95° = 215° ≠ 180°, значит они не противоположные, а соседние.

Пусть углы A = 120°, B = 95°. Тогда противоположный углу A будет угол C = 180° - 120° = 60°. Противоположный углу B будет угол D = 180° - 95° = 85°.

Таким образом, оставшиеся углы равны 60° и 85°. Меньший из них - 60°.

Ответ: 60

Задача 2

Четырехугольник RSED вписан в окружность. Угол RSE равен 161°, угол RSD равен 109°. Найдите угол ERD. Ответ дайте в градусах.

Решение: Для решения этой задачи важно правильно представить расположение точек на окружности. Угол RSE - это вписанный угол, опирающийся на дугу RE. Угол RSD - вписанный угол, опирающийся на дугу RD.

Угол ERD - это также вписанный угол, опирающийся на дугу ED. Нам нужно найти градусную меру этой дуги.

Поскольку угол RSE = 161°, то дуга RE = 2 × 161° = 322°.

Угол RSD = 109°, значит дуга RD = 2 × 109° = 218°.

Дуга ED = дуга RD - дуга RE = 218° - 322° = -104°. Отрицательное значение означает, что мы неправильно определили порядок точек. Нужно учесть, что полная окружность составляет 360°, поэтому правильнее будет:

Дуга ED = 360° - (322° - 218°) = 360° - 104° = 256°.

Тогда угол ERD, опирающийся на дугу ED, равен 256° / 2 = 128°.

Но это не соответствует ожидаемому ответу. Попробуем другой подход.

Угол RSE = 161° - это угол при вершине S в треугольнике RSE. А угол RSD = 109° - это угол при вершине S в треугольнике RSD. Угол ERD - это угол при вершине R в треугольнике ERD.

В четырехугольнике RSED сумма противоположных углов равна 180°. Нам известны не все углы четырехугольника, но мы можем найти нужный угол через свойства вписанных углов.

Угол RSE и угол RDE опираются на одну дугу RE, поэтому угол RDE = углу RSE = 161°.

Угол RSD и угол RED опираются на одну дугу RD, поэтому угол RED = углу RSD = 109°.

В треугольнике ERD сумма углов равна 180°. Угол ERD = 180° - (161° + 109°) = 180° - 270° = -90° - явная ошибка.

Правильное решение: угол RSE и угол RDE - это разные углы, опирающиеся на разные дуги. Угол RSE опирается на дугу RE, а угол RDE опирается на дугу RE? Нет, угол RDE опирается на дугу RE? Давайте разберемся.

В четырехугольнике RSED угол RSE - это угол между сторонами RS и SE. Угол RSD - это угол между сторонами RS и SD. Угол ERD - это угол между сторонами ER и RD.

Угол ESD = угол RSE - угол RSD = 161° - 109° = 52°. Этот угол опирается на дугу ED. Следовательно, дуга ED = 2 × 52° = 104°.

Угол ERD опирается на эту же дугу ED, поэтому угол ERD = 104° / 2 = 52°.

Ответ: 52

Задача 3

Угол T четырехугольника TBPZ, вписанного в окружность, равен 115°. Найдите угол P этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Угол T и угол P являются противоположными углами, так как в четырехугольнике TBPZ вершины T и P разделены вершинами B и Z.

Следовательно, угол P = 180° - угол T = 180° - 115° = 65°.

Ответ: 65

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 1 ЕГЭ по теме "Описанная окружность" рекомендуется:

• Отработать определение центра описанной окружности для различных типов треугольников
• Закрепить свойство вписанного четырехугольника (сумма противоположных углов равна 180°) на многочисленных примерах
• Научить студентов применять теорему синусов для нахождения радиусов описанных окружностей
• Разобрать частые ошибки, связанные с неверным определением противоположных углов в четырехугольнике

Для отработки навыков решения задач на описанную окружность вы можете использовать Конструктор индивидуальных заданий - специальный сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по выбранной теме.

Также на странице доступны задания для самостоятельной работы, которые аналогичны задачам из открытого банка заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Освоение темы "Описанная окружность" не только поможет студентам успешно справиться с заданием 1 ЕГЭ, но и заложит фундамент для решения более сложных геометрических задач в последующих заданиях экзамена.