Задание 1 профильного ЕГЭ: площадь параллелограмма и его свойства

Параллелограмм — одна из ключевых фигур планиметрии, которая регулярно встречается в задании 1 профильного ЕГЭ по математике. Понимание свойств этой фигуры и умение работать с формулами площади необходимо для успешного выполнения экзаменационных задач.

Основные свойства параллелограмма

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение порождает ряд важных свойств, которые используются при решении задач:

• Противоположные стороны равны: \(AB = CD\), \(BC = AD\)
• Противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\)
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\)
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: \(\angle A + \angle B = 180°\)

Формулы площади параллелограмма

Для вычисления площади параллелограмма в задачах ЕГЭ применяются несколько основных формул:

• Через сторону и высоту: \(S = a \cdot h_a\), где \(a\) — основание, \(h_a\) — высота, опущенная на это основание
• Через две стороны и синус угла между ними: \(S = ab \cdot \sin\alpha\)
• Через диагонали и синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin\varphi\)

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на параллелограмм в ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты:

• Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону: \(S = a \cdot h_a\)
• Высоты, опущенные на разные стороны параллелограмма, связаны соотношением: \(a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
• При пересечении диагоналей параллелограмма образуются четыре треугольника равной площади
• Линия, соединяющая середины двух сторон параллелограмма, отсекает треугольник, площадь которого составляет 1/8 площади параллелограмма
• Медиана треугольника делит его на две равновеликие части
• Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\)
• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону: \(S = \frac{1}{2} a \cdot h\)

Практические задачи с решениями

Задача 1

Стороны параллелограмма равны 39 и 50. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 41. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами:

\(S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)

Подставляем известные значения:

\(S = 39 \cdot 41 = 1599\)

Теперь находим высоту, опущенную на большую сторону:

\(h_b = \frac{S}{b} = \frac{1599}{50} = 31.98\)

Ответ: 31.98

Задача 2

Площадь параллелограмма OTKF равна 372. Точка E — середина стороны OF. Найдите площадь трапеции OEKT.

Решение:

Рассмотрим параллелограмм OTKF. Точка E — середина стороны OF. Проведем диагональ OK. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Точка E — середина OF, значит, отрезок TE является медианой треугольника OTF. Медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Площадь треугольника OTF равна половине площади параллелограмма: \(S_{OTF} = \frac{372}{2} = 186\)

Медиана TE делит треугольник OTF на два треугольника равной площади: \(S_{OTE} = S_{ETF} = \frac{186}{2} = 93\)

Трапеция OEKT состоит из треугольника OTE и треугольника TOK. Площадь треугольника TOK равна половине площади параллелограмма: 186.

Таким образом, площадь трапеции OEKT: \(S = S_{OTE} + S_{TOK} = 93 + 186 = 279\)

Ответ: 279

Задача 3

Площадь параллелограмма RECS равна 312. Точка T — середина стороны CS. Найдите площадь треугольника RTS.

Решение:

В параллелограмме RECS точка T — середина стороны CS. Рассмотрим треугольник RCS. Его площадь равна половине площади параллелограмма: \(S_{RCS} = \frac{312}{2} = 156\)

В треугольнике RCS отрезок RT является медианой, так как T — середина CS. Медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Следовательно, площадь треугольника RTS равна половине площади треугольника RCS: \(S_{RTS} = \frac{156}{2} = 78\)

Ответ: 78

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 1 профильного ЕГЭ по математике, посвященному параллелограммам, рекомендуется:

• Отработать все формулы площади параллелограмма на практических примерах
• Разобрать свойства диагоналей параллелограмма и их применение в задачах
• Рассмотреть частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат
• Обратить внимание на задачи с дополнительными построениями (высоты, медианы, биссектрисы)

Предлагаемые на этой странице задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Для эффективной подготовки учащихся к экзамену используйте Конструктор индивидуальных заданий — специальный сервис для учителей математики, позволяющий генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Параллелограмм и его свойства". Это поможет дифференцировать подход к обучению и обеспечить целенаправленную подготовку к экзамену.

Заключение

Тема "Параллелограмм" в задании 1 профильного ЕГЭ по математике требует системного подхода к изучению. Усвоение формул площади, свойств фигуры и методов решения задач позволит учащимся уверенно выполнять экзаменационные задания. Регулярная практика с задачами различного уровня сложности — ключ к успешной сдаче экзамена.