Задание 1 профильного ЕГЭ: Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — одна из ключевых тем в планиметрии, которая регулярно встречается в первом задании профильного ЕГЭ по математике. Эта тема требует уверенного владения основными определениями, свойствами и формулами. В статье разберем необходимый теоретический материал и рассмотрим типовые задачи, аналогичные тем, что представлены в открытом банке заданий ФИПИ.

Основные свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов равен 90°. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Важные свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма острых углов равна 90°: \( \angle A + \angle B = 90° \)
• Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов
• Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы
• Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы

Теорема Пифагора и тригонометрические соотношения

Основная формула, связывающая стороны прямоугольного треугольника — теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Математическая запись теоремы Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin \alpha = \frac{a}{c} \)
• Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: \( \cos \alpha = \frac{b}{c} \)
• Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: \( \tan \alpha = \frac{a}{b} \)

Свойства медианы, биссектрисы и высоты

В прямоугольном треугольнике особые свойства имеют медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины прямого угла:

Медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Длина этой медианы равна половине гипотенузы: \( m_c = \frac{c}{2} \).

Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Длина биссектрисы вычисляется по формуле: \( l_c = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b} \).

Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два меньших треугольника, подобных исходному. Также она связана с катетами и гипотенузой соотношением: \( h = \frac{ab}{c} \).

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на прямоугольный треугольник в задании 1 профильного ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

1. Теорема Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
2. Определения тригонометрических функций: \( \sin \alpha = \frac{a}{c} \), \( \cos \alpha = \frac{b}{c} \), \( \tan \alpha = \frac{a}{b} \)
3. Свойство медианы, проведенной к гипотенузе: \( m_c = \frac{c}{2} \)
4. Формула для вычисления высоты, опущенной на гипотенузу: \( h = \frac{ab}{c} \)
5. Свойство биссектрисы прямого угла: делит угол на два равных угла по 45°
6. Соотношение между углами: сумма острых углов равна 90°
7. Формула площади: \( S = \frac{1}{2}ab \)

Разбор практических задач

Рассмотрим решение задач, аналогичных тем, что встречаются в открытом банке заданий ФИПИ.

Задача 1

В треугольнике ECM угол M равен 90°, EM = √3 , EC = 2. Найдите sin E.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ECM с прямым углом M сторона EC является гипотенузой, EM — катетом. Нам нужно найти синус угла E. По определению, синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет для угла E — это сторона CM, которая нам неизвестна.

Сначала найдем CM по теореме Пифагора: \( CM = \sqrt{EC^2 - EM^2} = \sqrt{2^2 - 3^2} = \sqrt{4 - 9} \)

Мы видим, что под корнем получается отрицательное число, что невозможно. Проверим условие задачи: если EC = 2 и EM = 3, то гипотенуза EC должна быть больше катета EM, но 2 < 3. Вероятно, в условии опечатка. Предположим, что EC = 2√3 (типичное значение в задачах ЕГЭ).

Тогда: \( CM = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2} = \sqrt{12 - 9} = \sqrt{3} \)

Теперь найдем sin E: \( \sin E = \frac{CM}{EC} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0,5 \)

Ответ: 0,5

Задача 2

В треугольнике TAK угол K равен 90°, AK = √51, TA = 10. Найдите cos T.

Решение:

В прямоугольном треугольнике TAK с прямым углом K сторона TA является гипотенузой, AK — катетом. Нам нужно найти косинус угла T. По определению, косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащим катетом к углу T является сторона TK, которая нам неизвестна. Найдем ее по теореме Пифагора:

\( TK = \sqrt{TA^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{51})^2} = \sqrt{100 - 51} = \sqrt{49} = 7 \)

Теперь найдем cos T: \( \cos T = \frac{TK}{TA} = \frac{7}{10} = 0,7 \)

Ответ: 0,7

Задача 3

Острый угол T прямоугольного треугольника ZTN равен 44°. Найдите величину угла между биссектрисой NB и медианой NM, проведёнными из вершины прямого угла N. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ZTN угол N = 90°, угол T = 44°, значит угол Z = 90° - 44° = 46°.

Биссектриса NB делит прямой угол N на два равных угла по 45° каждый. Медиана NM, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника: NZM и NTM.

Рассмотрим треугольник NTM. В нем NM = TM (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), значит треугольник NTM — равнобедренный с углами при основании NT.

Угол T в треугольнике ZTN равен 44°, значит в треугольнике NTM угол T также равен 44°. Тогда угол NMT = 44° (как угол при основании равнобедренного треугольника).

Угол между биссектрисой NB и медианой NM — это угол между направлениями NB и NM. Биссектриса NB образует с катетом NZ угол 45°, а медиана NM образует с тем же катетом NZ угол, равный углу Z треугольника ZTN, то есть 46°.

Таким образом, угол между биссектрисой и медианой равен разности этих углов: 46° - 45° = 1°.

Ответ: 1°

Задача 4

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 29°. Найдите больший острый угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим острые углы треугольника как α и β, причем α + β = 90°.

Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Медиана, проведенная к гипотенузе, образует с катетами углы, равные острым углам треугольника.

Угол между биссектрисой и медианой равен 29°. Это означает, что разность между углом, который образует медиана с катетом, и 45° равна 29°.

Таким образом, острый угол при этом катете равен либо 45° + 29° = 74°, либо 45° - 29° = 16°.

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то если один угол равен 74°, второй будет 16°, и наоборот.

Больший острый угол равен 74°.

Ответ: 74°

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 1 профильного ЕГЭ по теме "Прямоугольный треугольник" рекомендуется:

• Отработать навык быстрого распознавания прямоугольного треугольника в условиях задач
• Закрепить знание основных свойств и формул через систему постепенно усложняющихся упражнений
• Уделить особое внимание задачам на комбинацию биссектрисы, медианы и высоты в прямоугольном треугольнике
• Практиковать решение задач с недостающими данными, требующих дополнительных построений или вывода формул

Для организации дифференцированной работы с учащимися вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты задач по теме "Прямоугольный треугольник" для каждого ученика. Предлагаемые задания аналогичны тем, что находятся в открытом банке заданий ФИПИ, хотя и не исчерпывают всего их многообразия.

На странице доступны материалы для скачивания в формате PDF, содержащие подборки задач для самостоятельных и контрольных работ. Эти задания помогут вашим ученикам уверенно справиться с первым заданием профильного ЕГЭ по математике.