Задание 1 профильного ЕГЭ: треугольники, площадь и средняя линия

Первое задание профильного ЕГЭ по математике проверяет базовые знания планиметрии, и треугольники занимают в нем особое место. Учителям математики важно донести до учащихся не только формулы, но и глубокое понимание свойств геометрических фигур. В этой статье мы разберем ключевые аспекты, связанные с вычислением площади треугольников и работой со средней линией — темами, которые регулярно встречаются в экзаменационных работах.

Основные формулы площади треугольника

Для успешного решения задач ЕГЭ учащиеся должны свободно ориентироваться в различных способах вычисления площади треугольника. Рассмотрим основные формулы:

• Через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \)
• Формула Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p \) — полупериметр
• Через две стороны и угол между ними: \( S = \frac{1}{2} ab \cdot \sin{\gamma} \)
• Через радиус описанной окружности: \( S = \frac{abc}{4R} \)
• Через радиус вписанной окружности: \( S = p \cdot r \)

Особое внимание стоит уделить случаям, когда треугольник имеет специальный вид — прямоугольный или равнобедренный. Для прямоугольного треугольника площадь можно найти как половину произведения катетов, а в равнобедренном — через основание и высоту, проведенную к нему.

Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Ее свойства часто используются в задачах ЕГЭ:

• Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине
• Три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника
• Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия 1:2

Эти свойства особенно важны при решении задач на нахождение площадей частей треугольника, как в заданиях, которые мы рассмотрим ниже.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения представленных ниже задач потребуются следующие математические факты:

• Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию и равна его половине
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Формула площади треугольника через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2}ah \)
• Свойство биссектрисы: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
• Сумма углов треугольника равна 180°
• Площадь трапеции можно найти как разность площади большого треугольника и площади отсеченного треугольника

Разбор задач по теме "Треугольники"

Задача 1

Площадь треугольника ECK равна 132, ST — средняя линия, параллельная стороне EC. Найдите площадь треугольника KST.

Решение:

Так как ST — средняя линия, параллельная EC, то точка S — середина KE, а точка T — середина KC. Значит, ST соединяет середины сторон KE и KC.

Треугольник KST подобен треугольнику KEC с коэффициентом подобия 1:2, так как ST = ½EC (свойство средней линии).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{KST}}{S_{KEC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Следовательно, \( S_{KST} = \frac{1}{4} \cdot S_{KEC} = \frac{1}{4} \cdot 132 = 33 \).

Ответ: 33

Задача 2

Две стороны треугольника равны 42 и 20. Высота, проведенная к большей стороне, равна 19. Чему равна высота, проведенная к меньшей стороне?

Решение:

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами, используя разные основания и высоты:

\( S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 19 = 399 \) (через большую сторону и соответствующую высоту)

Эта же площадь равна \( S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h \), где h — искомая высота, проведенная к стороне длиной 20.

Составим уравнение: \( \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h = 399 \)

\( 10h = 399 \)

\( h = 39,9 \)

Ответ: 39,9

Задача 3

В треугольнике EZD EB — биссектриса, угол D равен 46°, угол DEB равен 60°. Найдите угол EBZ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник EZD. Нам известны: угол D = 46°, угол DEB = 60°.

Угол EBD является частью угла EBD, который равен углу DEB, так как EB — биссектриса.

Найдем угол EZD треугольника EZD: угол EZD = 180° - 46° - 60° = 74°.

Теперь рассмотрим треугольник EBZ. Угол EBZ является внешним углом для треугольника EBD, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Угол EBZ = угол EDB + угол BED = 46° + 60° = 106°.

Ответ: 106

Задача 4

Площадь треугольника FMX равна 80, TC — средняя линия, параллельная стороне FM. Найдите площадь трапеции FMCT.

Решение:

TC — средняя линия, параллельная FM, значит, T — середина FX, C — середина MX.

Треугольник TFC подобен треугольнику FMX с коэффициентом подобия 1:2.

Отношение площадей: \( \frac{S_{TFC}}{S_{FMX}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Следовательно, \( S_{TFC} = \frac{1}{4} \cdot 80 = 20 \).

Площадь трапеции FMCT равна разности площадей большого треугольника и малого: \( S_{FMCT} = S_{FMX} - S_{TFC} = 80 - 20 = 60 \).

Ответ: 60

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 1 профильного ЕГЭ по математике важно отработать навык быстрого распознавания типа задачи и применения соответствующего алгоритма решения. Предложенные задачи демонстрируют типичные формулировки, встречающиеся в экзаменационных работах.

Для закрепления материала рекомендуем использовать Конструктор индивидуальных заданий — сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Треугольники". Задания, предлагаемые в самостоятельной работе, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), хотя и не исчерпывают всего их многообразия.

Особое внимание уделите отработке задач на вычисление площади треугольников различными способами и пониманию свойств средней линии — эти темы являются фундаментальными для успешного выполнения первого задания профильного ЕГЭ по математике.