Задание 1 профильного ЕГЭ: Вписанная окружность в четырехугольники и треугольники

Задачи на вписанные окружности занимают важное место в первой части профильного ЕГЭ по математике. Учителям необходимо уделить особое внимание этой теме при подготовке учащихся, поскольку такие задания проверяют понимание фундаментальных геометрических свойств и умение применять их на практике.

Основные свойства вписанных окружностей

В школьном курсе геометрии рассматриваются две принципиально разные ситуации: окружность, вписанная в многоугольник, и многоугольник, вписанный в окружность. В контексте задания 1 профильного ЕГЭ наиболее актуальны задачи первого типа.

Окружность, вписанная в четырехугольник

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противоположных сторон были равны:

\( AB + CD = BC + AD \)

Это фундаментальное свойство лежит в основе решения большинства задач на вписанные окружности в четырехугольники. Важно подчеркнуть ученикам, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис всех углов четырехугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность, причем ее центр всегда находится в точке пересечения биссектрис. Для треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром \( p = \frac{a+b+c}{2} \) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

\( r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \)

Также полезно знать формулу \( S = pr \), где S - площадь треугольника, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Окружность, вписанная в трапецию

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

\( AD + BC = AB + CD \)

Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, часто используются дополнительные соотношения, связанные с перпендикулярностью сторон.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на вписанные окружности в задании 1 ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты:

• В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны
• Периметр описанного многоугольника равен \( P = 2p \), где p - полупериметр
• Радиус вписанной в многоугольник окружности можно найти как \( r = \frac{S}{p} \), где S - площадь многоугольника, p - полупериметр
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон
• Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника
• Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны

Практические задания для урока

Предлагаемые ниже задачи аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Они помогут отработать навыки решения задач на вписанные окружности.

Задача 1

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 284, ее большая боковая сторона равна 86. Найдите радиус окружности.

Решение:

Для трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Поскольку трапеция прямоугольная, ее боковые стороны - это высота (меньшая боковая) и наклонная боковая (большая боковая).

Пусть a и b - основания трапеции (a > b), c = 86 - большая боковая сторона, d - меньшая боковая сторона.

Из свойства описанной трапеции: a + b = c + d

Периметр: P = a + b + c + d = 284

Подставляя a + b = c + d, получаем: 2(c + d) = 284, откуда c + d = 142

Так как c = 86, то d = 142 - 86 = 56

В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, диаметр окружности равен меньшей боковой стороне: 2r = d, следовательно r = d/2 = 56/2 = 28

Ответ: 28

Задача 2

В четырехугольник MNKP вписана окружность, MN = 60, KP = 89. Найдите периметр четырехугольника MNKP.

Решение:

Для описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны: MN + KP = NK + PM

Периметр P = MN + NK + KP + PM = (MN + KP) + (NK + PM) = 2(MN + KP)

P = 2(60 + 89) = 2 × 149 = 298

Ответ: 298

Задача 3

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 102, две его стороны равны 27 и 9. Найдите меньшую из оставшихся сторон.

Решение:

Пусть стороны четырехугольника равны a = 27, b = 9, c и d (c < d).

Для описанного четырехугольника: a + c = b + d

Периметр: a + b + c + d = 102

Подставляя известные значения: 27 + 9 + c + d = 102, откуда c + d = 66

Из условия a + c = b + d получаем: 27 + c = 9 + d, или d - c = 18

Решаем систему уравнений:

c + d = 66

d - c = 18

Складывая уравнения: 2d = 84, d = 42

Тогда c = 66 - 42 = 24

Меньшая из оставшихся сторон равна 24.

Ответ: 24

Методические рекомендации для учителей

При изучении темы "Вписанные окружности" рекомендуется:

1. Начать с повторения свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки
2. Разобрать доказательство критерия вписанной окружности для четырехугольников
3. Рассмотреть частные случаи: ромб, квадрат, равнобедренная трапеция
4. Отработать навык применения формулы связи радиуса вписанной окружности с площадью и полупериметром
5. Решить серию задач возрастающей сложности

Для организации дифференцированного подхода в обучении используйте Конструктор индивидуальных заданий - сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме вписанных окружностей. Это особенно полезно при подготовке к ЕГЭ, когда необходимо учитывать разный уровень математической подготовки учащихся.

На странице доступны PDF-файлы с заданиями для самостоятельной работы, которые содержат задачи, аналогичные представленным в открытом банке заданий ФИПИ. Эти материалы помогут организовать эффективную подготовку к выполнению задания 1 профильного ЕГЭ по математике.