Задание 10 профильного ЕГЭ: задачи на движение по окружности

Задачи на движение по круговой трассе регулярно встречаются в задании 10 профильного ЕГЭ по математике. Эти задачи требуют от учащихся понимания особенностей движения по окружности и умения работать с относительными скоростями. В отличие от линейного движения, здесь появляются специфические понятия — длина круга, точки встречи на круговой трассе, опережение на один или несколько кругов.

Особенности задач на движение по окружности

При решении задач на круговое движение важно учитывать несколько ключевых моментов:

• Длина трассы — это периметр окружности, который остается постоянным
• Встречи объектов происходят, когда разность пройденных расстояний равна длине одного или нескольких кругов
• При движении в одном направлении относительная скорость равна разности скоростей
• При движении в противоположных направлениях относительная скорость равна сумме скоростей

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на движение по окружности в задании 10 ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты и формулы:

1. Формула пути: \( S = v \cdot t \), где \( S \) — путь, \( v \) — скорость, \( t \) — время
2. При движении двух объектов по окружности в одном направлении время до встречи: \( t = \frac{L}{|v_1 - v_2|} \), где \( L \) — длина окружности
3. При движении из диаметрально противоположных точек в одном направлении: \( t = \frac{L/2}{|v_1 - v_2|} \) для первой встречи
4. Если один объект опережает другого на один круг: \( |S_1 - S_2| = L \)
5. Формула относительной скорости при движении в одном направлении: \( v_{отн} = |v_1 - v_2| \)
6. Время, через которое объекты поравняются в первый раз: \( t = \frac{L}{v_{отн}} \)
7. Если объекты стартуют из одной точки: \( t = \frac{L}{|v_1 - v_2|} \)
8. Если объекты стартуют из диаметрально противоположных точек: \( t = \frac{L}{2 \cdot |v_1 - v_2|} \)
9. Расстояние между точками старта влияет на время до первой встречи
10. Количество встреч за время t: \( n = \frac{|v_1 - v_2| \cdot t}{L} \)

Практические задачи с решениями

Задача 1

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 12 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 24 км/ч больше скорости другого?

Решение:

Поскольку мотоциклисты стартуют из диаметрально противоположных точек, первоначальное расстояние между ними равно половине длины окружности: \( \frac{12}{2} = 6 \) км.

Относительная скорость движения (скорость сближения) равна разности скоростей: 24 км/ч.

Время до встречи: \( t = \frac{6}{24} = 0,25 \) часа = 15 минут.

Ответ: 15 минут.

Задача 2

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 86 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Время движения: 30 минут = 0,5 часа.

За это время первый автомобиль проехал: \( S_1 = 86 \cdot 0,5 = 43 \) км.

Второй автомобиль проехал на 16 км меньше (так как отстал на круг): \( S_2 = 43 - 16 = 27 \) км.

Скорость второго автомобиля: \( v_2 = \frac{27}{0,5} = 54 \) км/ч.

Ответ: 54 км/ч.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на движение по окружности в задании 10 ЕГЭ рекомендуется:

• Начинать с простых задач, где объекты стартуют из одной точки
• Постепенно усложнять задания, добавляя различные начальные условия
• Отработать переход между единицами измерения (часы-минуты, км/ч-м/с)
• Уделить внимание графическому представлению задач

Особенность этих задач заключается в том, что их нет в Открытом банке заданий Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), поэтому учителям важно самостоятельно разрабатывать тренировочные материалы или использовать специализированные ресурсы.

Для эффективной отработки навыков решения задач на движение по окружности воспользуйтесь нашим генератором индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика с автоматической проверкой ответов.

Типичные ошибки и как их избежать

Учащиеся часто допускают ошибки:

• Не учитывают начальное расстояние между объектами
• Путают формулы для движения в одном и противоположных направлениях
• Забывают переводить единицы измерения
• Не понимают физический смысл "опережения на круг"

Для предотвращения этих ошибок полезно предлагать ученикам выражать условие задачи и рисовать схематические изображения траекторий движения.