Геометрическая прогрессия в задании 10 профильного ЕГЭ по математике

Геометрическая прогрессия — одна из фундаментальных тем в школьном курсе математики, которая регулярно встречается в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В задании 10 профильного уровня эта тема представлена особенно широко, что требует от учащихся уверенного владения основными понятиями и формулами.

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это число называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой \( q \).

Таким образом, если \( b_n \) — n-й член прогрессии, то для любого натурального \( n \) выполняется соотношение: \( b_{n+1} = b_n \cdot q \).

Основные формулы геометрической прогрессии

Для эффективной подготовки к экзамену учащимся необходимо знать следующие формулы:

Формула n-го члена: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
Формула суммы первых n членов: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \) при \( q \neq 1 \)
Свойство трех последовательных членов: \( b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Особое место в школьном курсе занимает бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — такая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы (\( |q| < 1 \)). Для нее существует формула суммы всех членов:

\( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

Эта формула находит применение в различных математических и прикладных задачах, включая задачи на вычисление площадей фигур и решение уравнений.

Особенности заданий по геометрической прогрессии в ЕГЭ

Стоит отметить, что типовые задачи на геометрическую прогрессию, которые встречаются в задании 10 профильного ЕГЭ, отсутствуют в Открытом банке заданий Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Это означает, что учителям необходимо самостоятельно разрабатывать дидактические материалы для отработки данной темы или использовать дополнительные ресурсы.

Для эффективной подготовки учащихся вы можете воспользоваться нашим генератором задач по геометрической прогрессии, который позволяет создавать индивидуальные задания для каждого ученика с учетом его уровня подготовки.

Необходимые математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на геометрическую прогрессию в задании 10 ЕГЭ учащимся потребуются:

Определение геометрической прогрессии
Формула n-го члена: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
Формула суммы n первых членов: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \) при \( q \neq 1 \)
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) при \( |q| < 1 \)
Свойство трех последовательных членов: \( b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \)
Понимание связи между арифметической и геометрической прогрессиями

Разбор задач

Задача

Бизнесмен Бубликов получил в 2005 году прибыль в размере 20500 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 100% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2010 год?

Решение:

Увеличение прибыли на 100% означает ее удвоение каждый год. Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию с первым членом \( b_1 = 20500 \) и знаменателем \( q = 2 \).

Нам нужно найти прибыль за 2010 год, который является шестым по счету (2005 → 2006 → 2007 → 2008 → 2009 → 2010). Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\( b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 20500 \cdot 2^5 = 20500 \cdot 32 = 656000 \).

Ответ: 656000 рублей.