Задание 10 профильного ЕГЭ: задачи на движение по прямой

Задачи на движение по прямой занимают важное место в задании 10 профильного ЕГЭ по математике. Эти задачи проверяют умение работать с основными понятиями кинематики в рамках школьного курса математики и требуют четкого понимания взаимосвязи между скоростью, временем и пройденным путем.

Основные понятия и формулы

Для успешного решения задач на движение по прямой необходимо уверенное владение следующими математическими фактами и формулами:

• Основная формула равномерного движения: \( S = v \cdot t \), где \( S \) - путь, \( v \) - скорость, \( t \) - время
• Формула скорости: \( v = \frac{S}{t} \)
• Формула времени: \( t = \frac{S}{v} \)
• Формула средней скорости: \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} \), где \( S_{общ} \) - весь пройденный путь, \( t_{общ} \) - все затраченное время
• Средняя скорость НЕ равна среднему арифметическому скоростей на различных участках пути, если времена движения на этих участках разные
• При движении навстречу друг другу скорости складываются: \( v_{сбл} = v_1 + v_2 \)
• При движении в одном направлении скорость сближения или удаления равна модулю разности скоростей: \( v_{сбл} = |v_1 - v_2| \)

Особенности задач на движение в ЕГЭ

В задании 10 профильного ЕГЭ по математике задачи на движение по прямой обычно представляют собой текстовые задачи, в которых описывается движение объекта с изменяющейся скоростью на разных участках пути. Ключевым моментом является правильное вычисление средней скорости движения, которая определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения.

Учителям математики важно обратить внимание учащихся на то, что распространенной ошибкой является попытка вычислять среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на различных участках. Этот подход верен только в случае, когда времена движения на всех участках одинаковы.

Методика решения задач на движение

При решении задач на движение по прямой рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Внимательно прочитать условие задачи и выделить все участки движения
2. Для каждого участка определить известные величины: путь, скорость, время
3. Выразить неизвестные величины через известные, используя основные формулы
4. Найти общий путь и общее время движения
5. Вычислить среднюю скорость по формуле \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} \)

Математические факты и формулы для решения задач на движение

Для решения задач на движение по прямой, включая задачи на среднюю скорость, необходимы следующие математические факты и формулы:

• Формула пути при равномерном движении: \( S = v \cdot t \)
• Формула скорости: \( v = \frac{S}{t} \)
• Формула времени: \( t = \frac{S}{v} \)
• Формула средней скорости: \( v_{ср} = \frac{S_1 + S_2 + ... + S_n}{t_1 + t_2 + ... + t_n} \)
• Если путь разбит на участки с разными скоростями, то общий путь равен сумме путей на каждом участке: \( S_{общ} = S_1 + S_2 + ... + S_n \)
• Общее время равно сумме времен на каждом участке: \( t_{общ} = t_1 + t_2 + ... + t_n \)
• Средняя скорость НЕ РАВНА среднему арифметическому скоростей, если времена движения на участках разные

Разбор задач на движение по прямой

Задача 1

Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 62 км/ч, а затем 3 часа — со скоростью 58 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Найдем путь на первом участке: \( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 40 \cdot 2 = 80 \) км

2. Найдем путь на втором участке: \( S_2 = v_2 \cdot t_2 = 62 \cdot 2 = 124 \) км

3. Найдем путь на третьем участке: \( S_3 = v_3 \cdot t_3 = 58 \cdot 3 = 174 \) км

4. Найдем общий путь: \( S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 80 + 124 + 174 = 378 \) км

5. Найдем общее время: \( t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2 + 2 + 3 = 7 \) часов

6. Найдем среднюю скорость: \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{378}{7} = 54 \) км/ч

Ответ: 54 км/ч

Задача 2

Первые 60 км автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, следующие 204 км — со скоростью 51 км/ч, а затем 200 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Найдем время на первом участке: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{60}{30} = 2 \) часа

2. Найдем время на втором участке: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{204}{51} = 4 \) часа

3. Найдем время на третьем участке: \( t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{200}{100} = 2 \) часа

4. Найдем общий путь: \( S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 + 204 + 200 = 464 \) км

5. Найдем общее время: \( t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2 + 4 + 2 = 8 \) часов

6. Найдем среднюю скорость: \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{464}{8} = 58 \) км/ч

Ответ: 58 км/ч

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 10 профильного ЕГЭ по математике, посвященному задачам на движение по прямой, рекомендуется:

• Разбирать различные типы задач на движение: с постоянной скоростью, с изменяющейся скоростью, встречное движение, движение в одном направлении
• Уделять особое внимание правильному вычислению средней скорости
• Тренировать навык перевода условий задачи в математические выражения
• Использовать графический метод для визуализации условий задачи
• Отрабатывать решение задач с дробными и десятичными значениями

Для организации эффективной работы с учащимися вы можете воспользоваться нашим Конструктором индивидуальных заданий, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме "Задачи на движение по прямой". Задания, предлагаемые в самостоятельной работе, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), однако содержат не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Помните, что уверенное решение задач на движение по прямой требует не только знания формул, но и понимания физической сути процессов, а также умения логически мыслить и анализировать условие задачи. Регулярная практика решения разнообразных задач этого типа поможет вашим ученикам успешно справиться с заданием 10 на профильном ЕГЭ по математике.