Задание 10 профильного ЕГЭ: задачи на движение по воде

Задачи на движение по воде занимают важное место в задании 10 профильного ЕГЭ по математике. Эти текстовые задачи требуют от учащихся умения работать с формулами движения, учитывать скорость течения реки и правильно составлять уравнения. В этой статье мы разберем теоретические основы и методику решения таких задач.

Теоретическая база для решения задач

При решении задач на движение по воде необходимо различать несколько ключевых понятий:

• Собственная скорость - скорость объекта в неподвижной воде
• Скорость течения - постоянная скорость движения воды в реке
• Скорость по течению - сумма собственной скорости и скорости течения
• Скорость против течения - разность собственной скорости и скорости течения

Основные формулы движения по воде

Для успешного решения задач на движение по воде в задании 10 профильного ЕГЭ учащиеся должны уверенно владеть следующими формулами:

• Скорость по течению: \( v_{по} = v_{соб} + v_{теч} \)
• Скорость против течения: \( v_{пр} = v_{соб} - v_{теч} \)
• Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{соб} + v_{теч}} \)
• Время движения против течения: \( t_{пр} = \frac{S}{v_{соб} - v_{теч}} \)
• Общее время движения: \( t_{общ} = t_{по} + t_{пр} + t_{стоянки} \)

Методика решения задач на движение по воде

При решении задач на движение по воде рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Ввести переменные для неизвестных величин (обычно собственная скорость или расстояние)
2. Выразить скорости по течению и против течения через введенные переменные
3. Составить уравнения для времени движения на каждом участке пути
4. Учесть время стоянки, если оно указано в условии
5. Составить общее уравнение, связывающее все временные промежутки
6. Решить полученное уравнение и проверить результат на адекватность

Особенности составления уравнений

Особое внимание следует уделять правильному составлению уравнений времени. Часто учащиеся допускают ошибки при переводе единиц измерения (часы и минуты) и при учете времени стоянки. Важно помнить, что общее время пути включает в себя все временные интервалы: движение по течению, движение против течения и время стоянки.

Математические факты и формулы для решения задач

Для решения задач на движение по воде необходимы следующие математические факты и формулы:

• Формула связи пути, скорости и времени: \( S = v \cdot t \)
• Формулы скорости по течению и против течения: \( v_{по} = v_{соб} + v_{теч} \), \( v_{пр} = v_{соб} - v_{теч} \)
• Формулы времени движения: \( t = \frac{S}{v} \)
• Умение решать рациональные уравнения, возникающие при составлении уравнений времени
• Умение работать с системами уравнений, когда в задаче два неизвестных
• Навыки преобразования выражений и решения квадратных уравнений

Разбор конкретных задач

Задача 1

Моторная лодка в 4:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 62 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 21:30 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Общее время с 4:00 до 21:30 составляет 17,5 часов. Из этого времени 2 часа - стоянка, значит время в движении: 17,5 - 2 = 15,5 часов.

Пусть собственная скорость лодки равна \( x \) км/ч. Тогда:

• Скорость по течению: \( x + 3 \) км/ч
• Скорость против течения: \( x - 3 \) км/ч

Время движения по течению: \( \frac{62}{x + 3} \) часов

Время движения против течения: \( \frac{62}{x - 3} \) часов

Составляем уравнение:

\( \frac{62}{x + 3} + \frac{62}{x - 3} = 15,5 \)

Упрощаем:

\( \frac{62(x - 3) + 62(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 15,5 \)

\( \frac{124x}{x^2 - 9} = 15,5 \)

\( 124x = 15,5(x^2 - 9) \)

\( 124x = 15,5x^2 - 139,5 \)

\( 15,5x^2 - 124x - 139,5 = 0 \)

Умножаем на 2 для удобства: \( 31x^2 - 248x - 279 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \( D = 248^2 + 4 \cdot 31 \cdot 279 = 61504 + 34596 = 96100 \)

\( \sqrt{D} = 310 \)

\( x = \frac{248 \pm 310}{62} \)

\( x_1 = \frac{248 + 310}{62} = 9 \), \( x_2 = \frac{248 - 310}{62} < 0 \) (не подходит по смыслу)

Ответ: собственная скорость лодки 9 км/ч.

Задача 2

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 12 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 12 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение:

Пусть расстояние до пункта назначения равно \( S \) км.

Скорость по течению: 12 + 2 = 14 км/ч

Скорость против течения: 12 - 2 = 10 км/ч

Время движения по течению: \( \frac{S}{14} \) часов

Время движения против течения: \( \frac{S}{10} \) часов

Общее время движения: \( \frac{S}{14} + \frac{S}{10} \) часов

С учетом стоянки: \( \frac{S}{14} + \frac{S}{10} + 3 = 12 \)

Решаем уравнение:

\( \frac{S}{14} + \frac{S}{10} = 9 \)

\( \frac{10S + 14S}{140} = 9 \)

\( \frac{24S}{140} = 9 \)

\( 24S = 1260 \)

\( S = 52,5 \) км

За весь рейс теплоход прошел: 52,5 · 2 = 105 км

Ответ: 105 км.

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на движение по воде в задании 10 профильного ЕГЭ рекомендуется:

• Отработать базовые формулы движения по воде на простых примерах
• Уделить внимание переводу единиц измерения времени
• Научить учащихся составлять таблицы данных для наглядного представления условия задачи
• Проводить анализ полученных решений на адекватность

Представленные в статье задачи аналогичны заданиям из открытого банка ФИПИ. Для дополнительной практики вы можете использовать наш генератор индивидуальных заданий, который позволяет создавать уникальные варианты задач для каждого ученика.

Типичные ошибки и как их избежать

При решении задач на движение по воде учащиеся часто допускают следующие ошибки:

• Не учитывают время стоянки при расчете общего времени пути
• Путают формулы для скорости по течению и против течения
• Неправильно переводят единицы измерения (особенно минуты в часы)
• Не проверяют полученные решения на соответствие условию задачи

Для предотвращения этих ошибок рекомендуется уделять особое внимание анализу условия задачи и проверке полученного результата.

Заключение

Задачи на движение по воде в задании 10 профильного ЕГЭ по математике требуют системного подхода и хорошего понимания физической сути процессов. Регулярная отработка решения таких задач с использованием представленных в статье методов позволит учащимся уверенно справляться с подобными заданиями на экзамене.