Задание 10 профильного ЕГЭ: задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу занимают важное место в структуре задания 10 профильного ЕГЭ по математике. Эти задачи требуют от учащихся понимания основных принципов работы с производительностью и умения применять математические модели к реальным ситуациям. Для учителей математики особенно ценным является наличие качественных методических материалов, позволяющих эффективно подготовить учащихся к этому типу задач.

Основные понятия и формулы

Ключевым понятием в задачах на совместную работу является производительность - объем работы, выполняемый в единицу времени. Если всю работу принять за 1, то производительность вычисляется по формуле: \( p = \frac{1}{t} \), где \( t \) - время выполнения всей работы.

При совместной работе нескольких исполнителей их производительности складываются. Если первый исполнитель выполняет работу за \( t_1 \) времени, а второй - за \( t_2 \), то их общая производительность равна: \( p = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \).

Время выполнения работы при совместной деятельности рассчитывается по формуле: \( T = \frac{1}{p_1 + p_2 + ... + p_n} \), где \( p_1, p_2, ..., p_n \) - производительности каждого из исполнителей.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на совместную работу учащимся необходимо знать следующие математические факты и формулы:

• Если объект работает один, его производительность равна \( p = \frac{A}{t} \), где A - объем работы, t - время работы
• При совместной работе производительности складываются: \( p_{общ} = p_1 + p_2 + ... + p_n \)
• Время совместной работы: \( t_{совм} = \frac{A}{p_{общ}} \)
• Если всю работу принять за 1, то производительность равна \( p = \frac{1}{t} \)
• Формула для нахождения времени совместной работы: \( T = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + ... + \frac{1}{t_n}} \)
• Если известна производительность и время работы, объем работы вычисляется как \( A = p \cdot t \)

Разбор типовых задач

Задача 1

Люда и Ира пропалывают грядку за 18 минут, а одна Ира — за 45 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Люда?

Решение:

Примем всю работу за 1. Тогда производительность Иры: \( p_И = \frac{1}{45} \).

Совместная производительность Люды и Иры: \( p_{Л+И} = \frac{1}{18} \).

Производительность Люды: \( p_Л = p_{Л+И} - p_И = \frac{1}{18} - \frac{1}{45} \).

Приведем к общему знаменателю: \( p_Л = \frac{5}{90} - \frac{2}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \).

Таким образом, Люда одна прополет грядку за \( t_Л = \frac{1}{p_Л} = 30 \) минут.

Ответ: 30 минут

Задача 2

Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 7 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение:

Производительность первого мастера: \( p_1 = \frac{1}{42} \).

Производительность второго мастера: \( p_2 = \frac{1}{7} \).

Общая производительность: \( p_{общ} = \frac{1}{42} + \frac{1}{7} = \frac{1}{42} + \frac{6}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} \).

Время совместной работы: \( T = \frac{1}{p_{общ}} = 6 \) часов.

Ответ: 6 часов

Задача 3

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение:

Приведем все времена к одним единицам измерения: 1 час = 60 минут.

Производительность первого насоса: \( p_1 = \frac{1}{20} \).

Производительность второго насоса: \( p_2 = \frac{1}{30} \).

Производительность третьего насоса: \( p_3 = \frac{1}{60} \).

Общая производительность: \( p_{общ} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \).

Время совместной работы: \( T = \frac{1}{p_{общ}} = 10 \) минут.

Ответ: 10 минут

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на совместную работу важно обратить внимание на следующие аспекты:

• Формирование понимания концепции производительности как скорости выполнения работы
• Отработка навыков перевода условия задачи в математическую модель
• Обучение учащихся анализу условия и выделению ключевых параметров
• Развитие умения работать с дробями и находить общие знаменатели

Особое внимание следует уделить задачам, в которых время выражено в разных единицах измерения, как в задаче 3, где необходимо было привести минуты и часы к общей единице.

Конструктор индивидуальных заданий

Для эффективной подготовки учащихся к заданию 10 профильного ЕГЭ по теме "Задачи на совместную работу" рекомендуем использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика, обеспечивая персонализированный подход к обучению.

Задания, создаваемые с помощью конструктора, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ), что гарантирует их соответствие требованиям экзамена.

Самостоятельные и контрольные работы

На странице доступны для скачивания PDF-файлы с заданиями для самостоятельных и контрольных работ по теме "Задачи на совместную работу". Эти материалы содержат задачи, аналогичные представленным в открытом банке заданий ФИПИ, и могут быть использованы для организации текущего и итогового контроля знаний учащихся.

Важно отметить, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ, но достаточное количество для качественной подготовки к экзамену.

Заключение

Задачи на совместную работу являются неотъемлемой частью задания 10 профильного ЕГЭ по математике. Успешное решение этих задач требует четкого понимания концепции производительности и умения применять соответствующие математические модели. Представленные в статье материалы и методические рекомендации помогут учителям математики эффективно организовать подготовку учащихся к этому типу заданий.