Задание 12 профильного ЕГЭ: логарифмическая функция

Логарифмическая функция занимает важное место в курсе алгебры и начала математического анализа, а также является одной из ключевых тем в задании 12 профильного ЕГЭ по математике. Понимание ее свойств и особенностей необходимо для успешного решения экзаменационных задач.

Основные понятия и свойства логарифмической функции

Логарифмическая функция определяется как функция вида \( y = \log_a x \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( x > 0 \). Основание логарифма определяет характер поведения функции:

• При \( a > 1 \) функция является возрастающей на всей области определения
• При \( 0 < a < 1 \) функция является убывающей на всей области определения

Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). Область значений — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \).

График логарифмической функции

График логарифмической функции всегда проходит через точку (1; 0), поскольку \( \log_a 1 = 0 \) при любом допустимом основании. Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика функции.

При построении графиков логарифмических функций полезно помнить о их связи с показательными функциями: логарифмическая функция является обратной к показательной функции с тем же основанием.

Производная логарифмической функции

Для решения задач задания 12 ЕГЭ особенно важны навыки нахождения производной логарифмической функции. Основные формулы производных:

• \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
• \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \)
• Производная сложной логарифмической функции: \( (\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \)

Эти формулы являются фундаментальными при исследовании функций на экстремумы и нахождении наибольших и наименьших значений — типичных задач для задания 12.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач с логарифмическими функциями в задании 12 ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты:

1. Область определения: \( \log_a f(x) \) определен при \( f(x) > 0 \)
2. Свойства логарифмов:
   • \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
   • \( \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \)
   • \( \log_a x^p = p \log_a x \)
   • Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
3. Производные:
   • \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
   • \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \)
   • \( (\ln |x|)' = \frac{1}{x} \)
4. Связь с числом e: \( \ln e = 1 \), \( e^{\ln x} = x \) (при x > 0)

Разбор задач с логарифмическими функциями

Задача 1

Найдите точку максимума функции \( y = 8 \ln(15x + 14) - 15x + 10 \).

Решение:

1. Найдем область определения: \( 15x + 14 > 0 \), откуда \( x > -\frac{14}{15} \).
2. Найдем производную: \( y' = 8 \cdot \frac{15}{15x + 14} - 15 = \frac{120}{15x + 14} - 15 \).
3. Приравняем производную к нулю: \( \frac{120}{15x + 14} - 15 = 0 \) \( \frac{120}{15x + 14} = 15 \) \( 120 = 15(15x + 14) \) \( 120 = 225x + 210 \) \( 225x = -90 \) \( x = -0,4 \).
4. Определим знак производной слева и справа от точки \( x = -0,4 \):
   • При \( x = -0,5 \): \( y' = \frac{120}{15 \cdot (-0,5) + 14} - 15 = \frac{120}{6,5} - 15 > 0 \)
   • При \( x = 0 \): \( y' = \frac{120}{14} - 15 < 0 \)
5. Производная меняет знак с "+" на "-", значит, \( x = -0,4 \) — точка максимума.

Ответ: -0,4

Задача 2

Найдите наименьшее значение функции \( y = 2 \ln(-x + 4)^{-11} - 22x + 20 \) на промежутке [1,7; 3,8].

Решение:

1. Упростим функцию: \( y = 2 \cdot (-11) \ln(-x + 4) - 22x + 20 = -22 \ln(-x + 4) - 22x + 20 \).
2. Область определения: \( -x + 4 > 0 \), откуда \( x < 4 \).
3. Найдем производную: \( y' = -22 \cdot \frac{-1}{-x + 4} - 22 = \frac{22}{-x + 4} - 22 \).
4. Приравняем производную к нулю: \( \frac{22}{-x + 4} - 22 = 0 \) \( \frac{22}{-x + 4} = 22 \) \( \frac{1}{-x + 4} = 1 \) \( -x + 4 = 1 \) \( x = 3 \).
5. Точка x = 3 принадлежит промежутку [1,7; 3,8].
6. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:
   • При x = 1,7: \( y = -22 \ln(2,3) - 22 \cdot 1,7 + 20 \)
   • При x = 3: \( y = -22 \ln(1) - 22 \cdot 3 + 20 = 0 - 66 + 20 = -46 \)
   • При x = 3,8: \( y = -22 \ln(0,2) - 22 \cdot 3,8 + 20 \)
7. Наименьшее значение равно -46.

Ответ: -46

Задача 3

Найдите наибольшее значение функции \( y = \ln(18x) - 18x - 48 \) на промежутке \( \left[\frac{1}{36}; \frac{5}{36}\right] \).

Решение:

1. Область определения: \( 18x > 0 \), откуда \( x > 0 \).
2. Найдем производную: \( y' = \frac{18}{18x} - 18 = \frac{1}{x} - 18 \).
3. Приравняем производную к нулю: \( \frac{1}{x} - 18 = 0 \) \( \frac{1}{x} = 18 \) \( x = \frac{1}{18} \).
4. Точка \( x = \frac{1}{18} \) принадлежит промежутку \( \left[\frac{1}{36}; \frac{5}{36}\right] \), так как \( \frac{1}{36} < \frac{1}{18} < \frac{5}{36} \).
5. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:
   • При \( x = \frac{1}{36} \): \( y = \ln\left(18 \cdot \frac{1}{36}\right) - 18 \cdot \frac{1}{36} - 48 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) - 0,5 - 48 \)
   • При \( x = \frac{1}{18} \): \( y = \ln\left(18 \cdot \frac{1}{18}\right) - 18 \cdot \frac{1}{18} - 48 = \ln 1 - 1 - 48 = -49 \)
   • При \( x = \frac{5}{36} \): \( y = \ln\left(18 \cdot \frac{5}{36}\right) - 18 \cdot \frac{5}{36} - 48 = \ln\left(\frac{5}{2}\right) - 2,5 - 48 \)
6. Наибольшее значение равно -49.

Ответ: -49

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 12 ЕГЭ по теме "Логарифмическая функция" рекомендуется обратить особое внимание на:

• Понимание области определения логарифмической функции
• Навыки дифференцирования сложных логарифмических функций
• Методы исследования функций на экстремумы
• Техники нахождения наибольших и наименьших значений на промежутках

Для отработки этих навыков вы можете использовать Конструктор индивидуальных заданий — сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме логарифмической функции.

Задания для самостоятельной работы, предлагаемые для скачивания на этой странице, аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Систематическая работа с логарифмическими функциями, включая построение графиков, исследование свойств и решение прикладных задач, позволит вашим ученикам уверенно справляться с заданием 12 профильного ЕГЭ по математике.