Задание 12 профильного ЕГЭ: Степенная функция и её применение
Степенная функция является одной из ключевых тем в задании 12 профильного ЕГЭ по математике. Понимание её свойств и умение работать с графиками необходимо для успешного решения экзаменационных задач. В этой статье мы систематизируем знания о степенных функциях и рассмотрим их применение в контексте подготовки к ЕГЭ.
Определение и основные свойства степенной функции
Степенная функция определяется формулой \( y = x^p \), где p — действительное число, называемое показателем степени. В зависимости от значения показателя p, свойства функции существенно изменяются.
Область определения степенной функции зависит от показателя степени:
- При натуральном p: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
- При целом отрицательном p: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)
- При дробном p: область определения определяется чётностью знаменателя дроби
Графики степенных функций с различными показателями
Поведение графика степенной функции существенно зависит от значения показателя степени:
- При p > 0: функция возрастает на всей области определения
- При p < 0: функция убывает на промежутках
- При чётном p: график симметричен относительно оси Oy
- При нечётном p: график симметричен относительно начала координат
Производная степенной функции и её применение
Одним из ключевых инструментов исследования функций в задании 12 ЕГЭ является производная. Для степенной функции \( y = x^p \) производная вычисляется по формуле:
\( y' = p \cdot x^{p-1} \)
Эта формула работает для любых действительных значений p. Производная помогает находить экстремумы функции, определять промежутки возрастания и убывания, что особенно важно при решении задач на нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Математические факты и формулы для решения задач
Для успешного решения задач с степенными функциями в задании 12 ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты:
- Формула производной степенной функции: \( (x^p)' = p \cdot x^{p-1} \)
- Правило дифференцирования сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
- Алгоритм нахождения экстремумов функции:
- Найти производную функции
- Приравнять производную к нулю и найти критические точки
- Определить знак производной на интервалах между критическими точками
- Сделать вывод о характере критических точек
- Метод нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
- Найти значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку
- Найти значения функции на концах отрезка
- Выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений
Разбор задач со степенными функциями
Задача 1
Найдите точку максимума функции \( y = 3x^3 - 81x - 75 \).
Решение:
1. Находим производную функции: \( y' = 9x^2 - 81 \)
2. Приравниваем производную к нулю: \( 9x^2 - 81 = 0 \)
3. Решаем уравнение: \( x^2 = 9 \), откуда \( x = \pm 3 \)
4. Исследуем знак производной на интервалах:
- При x < -3: y' > 0 (функция возрастает)
- При -3 < x < 3: y' < 0 (функция убывает)
- При x > 3: y' > 0 (функция возрастает)
5. Точка x = -3 является точкой максимума, так как производная меняет знак с "+" на "-".
Ответ: -3
Задача 2
Найдите точку минимума функции \( y = -x^3 + 3x^2 + 189x - 94 \).
Решение:
1. Находим производную: \( y' = -3x^2 + 6x + 189 \)
2. Приравниваем производную к нулю: \( -3x^2 + 6x + 189 = 0 \)
3. Делим на -3: \( x^2 - 2x - 63 = 0 \)
4. Решаем квадратное уравнение: дискриминант D = 4 + 252 = 256, корни \( x = \frac{2 \pm 16}{2} \), то есть x = 9 и x = -7
5. Исследуем знак производной:
- При x < -7: y' < 0 (функция убывает)
- При -7 < x < 9: y' > 0 (функция возрастает)
- При x > 9: y' < 0 (функция убывает)
6. Точка x = -7 является точкой минимума, так как производная меняет знак с "-" на "+".
Ответ: -7
Задача 3
Найдите наименьшее значение функции \( y = -2x\sqrt{x} + 12x + 3 \) на промежутке [9; 25].
Решение:
1. Перепишем функцию в виде \( y = -2x^{3/2} + 12x + 3 \)
2. Найдём производную: \( y' = -3x^{1/2} + 12 = -3\sqrt{x} + 12 \)
3. Приравниваем производную к нулю: \( -3\sqrt{x} + 12 = 0 \)
4. Решаем уравнение: \( \sqrt{x} = 4 \), откуда x = 16
5. Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку: 16 ∈ [9; 25]
6. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- При x = 9: \( y = -2\cdot 9\cdot 3 + 12\cdot 9 + 3 = -54 + 108 + 3 = 57 \)
- При x = 16: \( y = -2\cdot 16\cdot 4 + 12\cdot 16 + 3 = -128 + 192 + 3 = 67 \)
- При x = 25: \( y = -2\cdot 25\cdot 5 + 12\cdot 25 + 3 = -250 + 300 + 3 = 53 \)
7. Наименьшее значение равно 53.
Ответ: 53
Задача 4
Найдите наибольшее значение функции \( y = -4x\sqrt{x} + 18x + 17 \) на промежутке [4; 16].
Решение:
1. Перепишем функцию: \( y = -4x^{3/2} + 18x + 17 \)
2. Найдём производную: \( y' = -6x^{1/2} + 18 = -6\sqrt{x} + 18 \)
3. Приравниваем производную к нулю: \( -6\sqrt{x} + 18 = 0 \)
4. Решаем уравнение: \( \sqrt{x} = 3 \), откуда x = 9
5. Проверяем принадлежность точки отрезку: 9 ∈ [4; 16]
6. Вычисляем значения функции:
- При x = 4: \( y = -4\cdot 4\cdot 2 + 18\cdot 4 + 17 = -32 + 72 + 17 = 57 \)
- При x = 9: \( y = -4\cdot 9\cdot 3 + 18\cdot 9 + 17 = -108 + 162 + 17 = 71 \)
- При x = 16: \( y = -4\cdot 16\cdot 4 + 18\cdot 16 + 17 = -256 + 288 + 17 = 49 \)
7. Наибольшее значение равно 71.
Ответ: 71
Методические рекомендации для учителей
При подготовке учащихся к заданию 12 ЕГЭ по теме "Степенная функция" рекомендуется:
- Систематизировать изучение различных видов степенных функций в зависимости от показателя степени
- Отработать навыки построения графиков и определения свойств функций
- Уделить особое внимание технике дифференцирования степенных функций
- Практиковать решение задач на нахождение экстремумов и наибольших/наименьших значений
Для эффективной подготовки учащихся вы можете использовать Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет создавать разноуровневые задания по теме "Степенная функция". Задания в конструкторе аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).
Самостоятельные и контрольные работы, доступные для скачивания на этой странице в формате PDF, содержат задания, аналогичные задачам из открытого банка ФИПИ, и помогут организовать эффективную подготовку к экзамену.