Задание 12 профильного ЕГЭ: тригонометрические функции и их производные

В задании 12 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на исследование тригонометрических функций с помощью производной. Эти задания требуют уверенного владения техникой дифференцирования и понимания свойств тригонометрических функций. В статье разберем ключевые аспекты этой темы, которые помогут учителям эффективно подготовить учащихся к экзамену.

Основные производные тригонометрических функций

Для успешного решения задач задания 12 необходимо знать производные основных тригонометрических функций:

• Производная синуса: \( (sin x)' = cos x \)
• Производная косинуса: \( (cos x)' = -sin x \)
• Производная тангенса: \( (tg x)' = \frac{1}{cos^2 x} \)
• Производная котангенса: \( (ctg x)' = -\frac{1}{sin^2 x} \)

Особое внимание следует уделить правилу дифференцирования сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Это правило особенно важно при работе с тригонометрическими функциями, аргумент которых представляет собой линейное выражение.

Алгоритм нахождения экстремумов функций

Типичная задача в задании 12 ЕГЭ требует найти точки экстремума (максимума или минимума) функции на заданном промежутке. Алгоритм решения включает следующие шаги:

1. Найти производную функции
2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение
3. Определить, какие из найденных корней принадлежат указанному промежутку
4. Исследовать знак производной на интервалах между критическими точками
5. Определить характер экстремума (максимум или минимум)

Математические факты и формулы для решения задач

Для решения задач на экстремумы тригонометрических функций потребуются следующие математические факты и формулы:

• Производная произведения: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \)
• Таблица значений тригонометрических функций для стандартных углов
• Формулы приведения для работы с аргументами вида \( kx + b \)
• Свойства периодичности тригонометрических функций
• Методы решения тригонометрических уравнений
• Правило определения характера критической точки по знаку производной

Разбор задач на экстремумы тригонометрических функций

Задача 1

Найдите точку минимума функции \( y = (-2x + 2) \cos x + 2 \sin x + 24 \), принадлежащую промежутку \( (0; 2\pi) \).

Решение:

Найдем производную функции:

\( y' = [(-2x + 2) \cos x]' + (2 \sin x)' + (24)' \)

\( y' = (-2) \cdot \cos x + (-2x + 2) \cdot (-\sin x) + 2 \cos x \)

\( y' = -2\cos x - (-2x + 2)\sin x + 2\cos x \)

\( y' = -2\cos x + (2x - 2)\sin x + 2\cos x \)

\( y' = (2x - 2)\sin x \)

Приравняем производную к нулю:

\( (2x - 2)\sin x = 0 \)

Это уравнение распадается на два:

1) \( 2x - 2 = 0 \) → \( x = 1 \)

2) \( \sin x = 0 \) → \( x = \pi n, n \in Z \)

Из промежутка \( (0; 2\pi) \) нам подходят точки: \( x = 1 \), \( x = \pi \)

Исследуем знак производной на интервалах:

• На интервале \( (0; 1) \): при \( x = 0.5 \), \( 2x - 2 < 0 \), \( \sin x > 0 \) → произведение отрицательно
• На интервале \( (1; \pi) \): при \( x = 2 \), \( 2x - 2 > 0 \), \( \sin x > 0 \) → произведение положительно
• На интервале \( (\pi; 2\pi) \): при \( x = 3 \), \( 2x - 2 > 0 \), \( \sin x < 0 \) → произведение отрицательно

Таким образом, при переходе через точку \( x = 1 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Ответ: 1

Задача 2

Найдите точку максимума функции \( y = (8x - 8) \cos x - 8 \sin x + 85 \), принадлежащую промежутку \( (0; \frac{\pi}{2}) \).

Решение:

Найдем производную функции:

\( y' = [(8x - 8) \cos x]' - (8 \sin x)' + (85)' \)

\( y' = 8 \cdot \cos x + (8x - 8) \cdot (-\sin x) - 8 \cos x \)

\( y' = 8\cos x - (8x - 8)\sin x - 8\cos x \)

\( y' = -(8x - 8)\sin x \)

\( y' = (8 - 8x)\sin x \)

Приравняем производную к нулю:

\( (8 - 8x)\sin x = 0 \)

Это уравнение распадается на два:

1) \( 8 - 8x = 0 \) → \( x = 1 \)

2) \( \sin x = 0 \) → \( x = \pi n, n \in Z \)

Из промежутка \( (0; \frac{\pi}{2}) \) нам подходит только точка \( x = 1 \), так как \( \sin x = 0 \) на этом промежутке только при \( x = 0 \), но 0 не входит в промежуток.

Исследуем знак производной на интервалах:

• На интервале \( (0; 1) \): при \( x = 0.5 \), \( 8 - 8x > 0 \), \( \sin x > 0 \) → произведение положительно
• На интервале \( (1; \frac{\pi}{2}) \): при \( x = 1.2 \), \( 8 - 8x < 0 \), \( \sin x > 0 \) → произведение отрицательно

Таким образом, при переходе через точку \( x = 1 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Ответ: 1

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к заданию 12 ЕГЭ по теме "Тригонометрические функции и производная" рекомендуется:

• Отработать технику дифференцирования сложных тригонометрических функций
• Уделить внимание решению тригонометрических уравнений, возникающих при приравнивании производной к нулю
• Научить учащихся корректно определять принадлежность критических точек указанному промежутку
• Потренировать анализ знака производной на различных интервалах

Для организации индивидуальной работы с учащимися вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий, который позволяет генерировать уникальные варианты задач по теме "Тригонометрические функции и производная".

Также на странице доступны материалы для самостоятельной работы, содержащие задания, аналогичные тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Успешное освоение темы "Тригонометрические функции и производная" требует систематической работы и понимания взаимосвязи между алгебраическими преобразованиями и геометрическим смыслом производной. Используйте разнообразные формы работы на уроках для достижения лучших результатов.