Задание 3 профильного ЕГЭ: Цилиндр в задачах

Задачи на цилиндр регулярно встречаются в задании 3 профильного ЕГЭ по математике. Эта тема требует от учащихся уверенного владения формулами объема и площади поверхности, а также понимания геометрических свойств цилиндра. В статье разберем ключевые аспекты, необходимые для успешного решения подобных задач.

Основные формулы и свойства цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Для решения задач ЕГЭ необходимо знать следующие формулы:

• Объем цилиндра: \( V = \pi R^2 H \), где R — радиус основания, H — высота
• Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 2\pi RH \)
• Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2\pi R(R + H) \)

Важно понимать, что при изменении линейных размеров цилиндра его объем изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия, а площадь — квадрату этого коэффициента.

Типичные задачи на цилиндр в ЕГЭ

В задании 3 профильного ЕГЭ по математике задачи на цилиндр можно условно разделить на несколько типов:

1. Задачи на вычисление объема и площади поверхности
2. Задачи на изменение объема при погружении тел
3. Задачи на сравнение объемов и площадей подобных цилиндров
4. Комбинированные задачи с использованием нескольких геометрических тел

Математические факты и формулы для решения задач на цилиндр

Для успешного решения задач на цилиндр в ЕГЭ необходимо знать и уметь применять следующие математические факты:

• Формулу объема цилиндра: \( V = \pi R^2 H \)
• Формулу площади боковой поверхности: \( S_{бок} = 2\pi RH \)
• Формулу площади полной поверхности: \( S_{полн} = 2\pi R(R + H) \)
• Свойство подобных фигур: при увеличении линейных размеров в k раз объем увеличивается в \( k^3 \) раз, а площадь поверхности — в \( k^2 \) раз
• Принцип Кавальери: если у двух тел площади сечений на одинаковой высоте равны, то их объемы равны
• Связь между объемом жидкости и объемом погруженного тела: объем вытесненной жидкости равен объему погруженной части тела

Разбор задач на цилиндр

Задача 1

В цилиндрический сосуд налили 3600 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 40 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Решение:

Объем воды в сосуде составляет 3600 см³ при высоте 40 см. Найдем площадь основания цилиндра:

\( S = \frac{V}{H} = \frac{3600}{40} = 90 \) см²

При погружении детали уровень воды поднялся на 6 см. Объем, который заняла вода вместе с деталью, равен:

\( V_{общий} = S \cdot (H + \Delta H) = 90 \cdot (40 + 6) = 90 \cdot 46 = 4140 \) см³

Объем детали равен разности общего объема и объема воды:

\( V_{детали} = 4140 - 3600 = 540 \) см³

Ответ: 540 см³

Задача 2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 352 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в см.

Решение:

Обозначим радиус первого сосуда как R, тогда радиус второго сосуда будет 2R (так как диаметр в 2 раза больше).

Объем жидкости в первом сосуде: \( V = \pi R^2 \cdot 352 \)

Этот же объем переливают во второй сосуд: \( V = \pi (2R)^2 \cdot H = \pi \cdot 4R^2 \cdot H \)

Приравниваем объемы: \( \pi R^2 \cdot 352 = \pi \cdot 4R^2 \cdot H \)

Сокращаем одинаковые множители: \( 352 = 4H \)

Отсюда: \( H = \frac{352}{4} = 88 \) см

Ответ: 88 см

Задача 3

Объем первого цилиндра равен 27 м³. У второго цилиндра высота в 27 раз меньше, а радиус основания — в 6 раз больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение:

Объем первого цилиндра: \( V_1 = \pi R_1^2 H_1 = 27 \) м³

Для второго цилиндра: \( R_2 = 6R_1 \), \( H_2 = \frac{H_1}{27} \)

Объем второго цилиндра: \( V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi (6R_1)^2 \cdot \frac{H_1}{27} = \pi \cdot 36R_1^2 \cdot \frac{H_1}{27} = \frac{36}{27} \cdot \pi R_1^2 H_1 = \frac{4}{3} \cdot 27 = 36 \) м³

Ответ: 36 м³

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на цилиндр в ЕГЭ рекомендуется:

• Отработать навык работы с формулами объема и площади поверхности цилиндра
• Рассмотреть задачи на изменение объема при погружении тел
• Разобрать задачи на подобные преобразования цилиндров
• Обратить внимание на единицы измерения и их преобразование

Для отработки навыков решения задач на цилиндр вы можете использовать наш Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты задач для каждого ученика, что особенно полезно при подготовке к ЕГЭ.

Самостоятельные и контрольные работы

На странице доступны для скачивания материалы для проведения самостоятельных и контрольных работ по теме "Цилиндр". Задания в этих работах аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Использование разнообразных задач на цилиндр в учебном процессе поможет учащимся уверенно справляться с заданием 3 профильного ЕГЭ по математике и успешно применять полученные знания на экзамене.