Задание 3 профильного ЕГЭ: комбинации тел вращения

Тема комбинаций геометрических тел занимает важное место в подготовке к профильному ЕГЭ по математике. В задании 3 учащимся часто предлагаются задачи, в которых требуется работать с комбинациями тел вращения — цилиндра, конуса и шара. Понимание взаимного расположения этих фигур и владение соответствующими формулами объема позволяют успешно решать такие задачи.

Особенности задач на комбинации тел

Задачи на комбинации тел вращения в ЕГЭ обычно предполагают, что одно тело описано около другого или вписано в него. Типичными являются следующие ситуации:

• Цилиндр, описанный около шара
• Конус, вписанный в шар
• Шар, вписанный в конус или цилиндр
• Комбинации тел вращения с многогранниками

Для успешного решения таких задач необходимо не только знать формулы объемов отдельных тел, но и понимать геометрические соотношения между ними в конкретной комбинации.

Математические факты и формулы

Для решения задач на комбинации тел вращения необходимы следующие математические факты и формулы:

• Объем шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \), где R — радиус шара
• Объем цилиндра: \( V = \pi R^2 H \), где R — радиус основания, H — высота цилиндра
• Объем конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \), где R — радиус основания, H — высота конуса
• Если цилиндр описан около шара, то высота цилиндра равна диаметру шара: H = 2R
• Если конус вписан в шар и радиус основания конуса равен радиусу шара, то высота конуса также равна радиусу шара: H = R
• Осевое сечение комбинации тел часто содержит ключевую информацию о соотношениях между их размерами

Примеры решения задач

Рассмотрим две характерные задачи на комбинации тел вращения, аналогичные тем, которые встречаются в Открытом банке заданий ФИПИ.

Задача 1: Цилиндр, описанный около шара

Условие: Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 111. Найдите объем шара.

Решение:

Если цилиндр описан около шара, то шар касается цилиндра по всей его боковой поверхности. Это означает, что:

• Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: R_ц = R_ш
• Высота цилиндра равна диаметру шара: H = 2R_ш

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\( V_{ц} = \pi R_{ц}^2 H = \pi R_{ш}^2 \cdot 2R_{ш} = 2\pi R_{ш}^3 \)

По условию V_ц = 111, следовательно:

\( 2\pi R_{ш}^3 = 111 \)

\( \pi R_{ш}^3 = \frac{111}{2} = 55.5 \)

Объем шара вычисляется по формуле:

\( V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R_{ш}^3 = \frac{4}{3} \cdot 55.5 = 74 \)

Ответ: 74

Задача 2: Конус, вписанный в шар

Условие: Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 61. Найдите объем шара.

Решение:

Если конус вписан в шар и радиус основания конуса равен радиусу шара, то осевое сечение такой комбинации представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность, причем основание треугольника равно диаметру окружности.

Обозначим радиус шара (и основания конуса) как R. Тогда высота конуса также будет равна R (это следует из геометрических соотношений в осевом сечении).

Объем конуса вычисляется по формуле:

\( V_{к} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3 \)

По условию V_к = 61, следовательно:

\( \frac{1}{3}\pi R^3 = 61 \)

\( \pi R^3 = 183 \)

Объем шара вычисляется по формуле:

\( V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot 183 = 244 \)

Ответ: 244

Методические рекомендации для учителей

При подготовке учащихся к решению задач на комбинации тел вращения рекомендуется:

1. Начинать с визуализации — построения осевых сечений комбинаций тел, что помогает понять геометрические соотношения между их элементами.
2. Отрабатывать навык перевода геометрических условий в алгебраические соотношения между радиусами и высотами тел.
3. Уделять внимание типичным комбинациям: цилиндр-шар, конус-шар, а также комбинациям тел вращения с многогранниками.
4. Использовать конструктор индивидуальных заданий для создания разноуровневых задач по этой теме.

Представленные на этой странице задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Они помогут учащимся отработать навыки решения задач на комбинации тел вращения.

Конструктор индивидуальных заданий — это специальный сервис для учителей математики, который позволяет генерировать индивидуальные задания каждому ученику по теме комбинации геометрических тел. С его помощью можно создавать уникальные варианты задач, варьируя параметры и типы комбинаций.

Заключение

Задачи на комбинации тел вращения в задании 3 профильного ЕГЭ по математике требуют четкого понимания геометрических соотношений между телами и уверенного владения формулами объемов. Регулярная практика решения таких задач с использованием различных комбинаций тел позволит учащимся успешно справляться с этим типом заданий на экзамене.