Задание 3 профильного ЕГЭ: объем пирамиды

Задание 3 в профильном ЕГЭ по математике проверяет знания по стереометрии, и одной из ключевых тем является вычисление объема пирамиды. Эта тема требует четкого понимания геометрических свойств фигур и умения применять формулы в различных ситуациях.

Основные понятия и формулы

Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, а все боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину. Для успешного решения задач ЕГЭ необходимо знать следующие формулы:

Объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( l \) — апофема
Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)

Особенности правильной пирамиды

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. В задачах ЕГЭ часто встречаются:

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр)
Правильная четырехугольная пирамида
Правильная шестиугольная пирамида

Для правильной пирамиды существуют дополнительные соотношения между элементами, которые полезно знать при решении задач на вычисление объема.

Методические материалы для учителей

На странице представлены материалы для проведения уроков по теме "Объем пирамиды":

PDF-файлы с теорией и примерами решения задач
Подборки задач для самостоятельной работы
Контрольные работы по стереометрии

Задания для самостоятельной работы аналогичны тем, которые находятся в открытом банке заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Обратите внимание, что в самостоятельной работе представлены не все аналоги заданий из Открытого банка ФИПИ.

Конструктор индивидуальных заданий

Для дифференцированного подхода в обучении используйте Конструктор индивидуальных заданий. Этот сервис позволяет генерировать уникальные варианты задач по теме "Объем пирамиды" для каждого ученика, учитывая их уровень подготовки.

Математические факты и формулы для решения задач

Для успешного решения задач на объем пирамиды в ЕГЭ необходимо знать следующие математические факты:

Формула объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \)
Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна основанию и равна его половине
Если плоскость пересекает пирамиду параллельно основанию, то отношение площадей сечений равно квадрату коэффициента подобия
Объемы подобных пирамид относятся как куб коэффициента подобия
Если точка делит высоту пирамиды в отношении m:n, то площади параллельных сечений относятся как m²:n²
Объем треугольной пирамиды можно вычислить через смешанное произведение векторов
Формула объема через координаты вершин для треугольной пирамиды ABCD: \( V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}))| \)

Разбор задач на объем пирамиды

Задача 1

Объем правильной четырехугольной пирамиды OTHPB равен 136. Точка F — середина ребра OH. Найдите объем треугольной пирамиды FTHP.

Решение:

Рассмотрим пирамиду OTHPB. Это правильная четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Обозначим площадь основания как S, высоту как H. Тогда объем пирамиды OTHPB равен \( V = \frac{1}{3} S \cdot H = 136 \).

Пирамида FTHP — это треугольная пирамида, которая получается из исходной путем отсечения части. Заметим, что точка F — середина ребра OH, значит, она делит высоту пирамиды пополам.

Основание пирамиды FTHP — треугольник THP. Этот треугольник является гранью исходной пирамиды. Площадь этого треугольника равна половине площади боковой грани исходной пирамиды.

Объем пирамиды FTHP можно вычислить как \( V_{FTHP} = \frac{1}{3} S_{THP} \cdot h \), где h — высота пирамиды FTHP, опущенная на плоскость THP.

Учитывая, что F — середина OH, и используя свойства подобных фигур, получаем, что объем пирамиды FTHP составляет 1/4 от объема исходной пирамиды:

\( V_{FTHP} = \frac{1}{4} \cdot 136 = 34 \).

Ответ: 34

Задача 2

От треугольной пирамиды, объем которой равен 48, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение:

Пусть дана треугольная пирамида ABCD с объемом 48. Через вершину A и среднюю линию основания BCD проведена плоскость. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника BCD.

Плоскость, проходящая через вершину A и среднюю линию основания, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду. Основание отсеченной пирамиды — треугольник, образованный вершиной A, концами средней линии и соответствующими вершинами основания.

Рассмотрим отношение объемов. Площадь основания отсеченной пирамиды относится к площади основания исходной пирамиды как 1:4, так как средняя линия делит стороны основания пополам, а значит, площадь образованного треугольника составляет 1/4 площади всего основания.

Высота отсеченной пирамиды равна высоте исходной пирамиды, так как вершина A общая для обеих пирамид.

Таким образом, объем отсеченной пирамиды составляет 1/4 от объема исходной:

\( V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12 \).

Ответ: 12